习题一解答
1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A：
(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件A?{两次出现的面相同}；
(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件A?{一分钟内呼叫次数不超过3次}； (3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件A?{寿命在2000到2500小时之间}。 解 (1) ??{(?,?),(?,?),(?,?),(?,?)}， A?{(?,?),(?,?)}. (2) 记X为一分钟内接到的呼叫次数，则
??{X?k|k?0,1,2,??}， A?{X?k|k?0,1,2,3}.
(3) 记X为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则
??{X?(0,??)}， A?{X?(2000,2500)}.
2. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设A?{取得球的号码是偶数}，B?{取得球的号码是奇数}，C?{取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：
(1)A?B；(2)AB；(3)AC；(4)AC；(5)AC；(6)B?C；(7)A?C. 解 (1) A?B??是必然事件； (2) AB??是不可能事件；
(3) AC?{取得球的号码是2，4}；
(4) AC?{取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；
(5) AC?{取得球的号码为奇数，且不小于5}?{取得球的号码为5，7，9}；
(6) B?C?B?C?{取得球的号码是不小于5的偶数}?{取得球的号码为6，8，10}； (7) A?C?AC?{取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}
?1??13?3. 在区间[0,2]上任取一数，记A??x?x?1?，B??x?x??，求下列事件的表达式：
2??2??4(1)A?B；(2)AB；(3)AB；(4)A?B.
?13?解 (1) A?B??x?x??;
2??4???11 (2) AB??x0?x?或1?x?2??B??x?x?2???4 (3) 因为A?B，所以AB??；
1?????x1?x?2??3??; 2?????13113(4)A?B?A??x0?x?或?x?2???x0?x?或?x?1或?x?2? 4. 用事件A,B,C42422????的运算关系式表示下列事件：
(1) A出现，B,C都不出现（记为E1）； (2) A,B都出现，C不出现（记为E2）； (3) 所有三个事件都出现（记为E3）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为E4）； (5) 三个事件都不出现（记为E5）； (6) 不多于一个事件出现（记为E6）； (7) 不多于两个事件出现（记为E7）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为E8）。 解 (1)E1?ABC； (2)E2?ABC； (3)E3?ABC； (4)E4?A?B?C；
(5)E5?ABC； (6)E6?ABC?ABC?ABC?ABC；
(7)E7?ABC?A?B?C；(8)E8?AB?AC?BC.
5. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设Ai表示事件“第i次
抽到废品”，i?1,2,3，试用Ai表示下列事件：
(1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品；
(2) 只有第一次抽到废品； (3) 三次都抽到废品；
(4) 至少有一次抽到合格品； (2) 只有两次抽到废品。
解 (1)A1?A2； (2)A1A2A3； (3)A1A2A3；
(4)A1?A2?A3； (5)A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3.
6. 接连进行三次射击，设Ai={第i次射击命中}，i?1,2,3，B?{三次射击恰好命中二次}，
C?{三次射击至少命中二次}；试用Ai表示B和C。
解 B?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3 C?A1A2?A1A3?A2A3
习题二解答
1．从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。
?50?解 这是不放回抽取，样本点总数n???3??，记求概率的事件为A，则有利于A的样本点数
???45??5?k???2????1??. 于是
?????45??5????????k?2??1???45?44?5?3!?99 P(A)??n50?49?48?2!392?50????3???2．一口袋中有5个红球及2个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。求
(1) 第一次、第二次都取到红球的概率；
(2) 第一次取到红球，第二次取到白球的概率； (3) 二次取得的球为红、白各一的概率； (4) 第二次取到红球的概率。
解 本题是有放回抽取模式，样本点总数n?72. 记(1)(2)(3)(4)题求概率的事件分别为A,B,C,D.
25?5?(ⅰ)有利于A的样本点数kA?5，故 P(A)????
749??5?210(ⅱ) 有利于B的样本点数kB?5?2，故 P(B)?2?
49720(ⅲ) 有利于C的样本点数kC?2?5?2，故 P(C)?
497?5355?. (ⅳ) 有利于D的样本点数kD?7?5，故 P(D)?2?49773．一个口袋中装有6只球，分别编上号码1至6，随机地从这个口袋中取2只球，试求：(1) 最小号码是3的概率；(2) 最大号码是3的概率。
解 本题是无放回模式，样本点总数n?6?5.
(ⅰ) 最小号码为3，只能从编号为3，4，5，6这四个球中取2只，且有一次抽到3，因而有利
2?31?. 样本点数为2?3，所求概率为
6?55(ⅱ) 最大号码为3，只能从1，2，3号球中取，且有一次取到3，于是有利样本点数为2?2，
222?22?. 6?5154．一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样，接连取2次，每次取1只，试求下列事件的概率：
(1) 2只都合格；
(2) 1只合格，1只不合格； (3) 至少有1只合格。
解 分别记题(1)、(2)、(3)涉及的事件为A,B,C，则
?4???2??4?3?22?P(A)???? 6??6?5?25??2????所求概率为
?4??2???1????1??4?2?28?????P(B)?? 66?515?????2???注意到C?A?B，且A与B互斥，因而由概率的可加性知
2814P(C)?P(A)?P(B)???
515155．掷两颗骰子，求下列事件的概率：
(1) 点数之和为7；(2) 点数之和不超过5；(3) 点数之和为偶数。 解 分别记题(1)、(2)、(3)的事件为A,B,C,样本点总数n?62 (ⅰ)A含样本点(2,5),(5,2),(1,6),(6,1),(3,4),(4,3)
61?P(A)?2?
66(ⅱ)B含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2)
105 ?P(B)?2?
186(ⅲ)C含样本点(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3), (3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6), 一共18个样本点。
181 ?P(C)??
3626．把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住8人，试求这三名学生住不同宿舍的概率。
解 记求概率的事件为A，样本点总数为53，而有利A的样本点数为5?4?3，所以 5?4?312P(A)??. 32557．总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位，求下列事件的概率： (1) 事件A：“其中恰有一位精通英语”； (2) 事件B：“其中恰有二位精通英语”； (3) 事件C：“其中有人精通英语”。
?5?解 样本点总数为??3??
???2??3???1????2??2?3?3!63???????； (1) P(A)?5?4?3105?5????3????2??3???2????1???????3?3!?3； (2) P(B)?5?4?310?5????3???(3) 因C?A?B，且A与B互斥，因而
339 P(C)?P(A)?P(B)???.
510108．设一质点一定落在xOy平面内由x轴、y轴及直线?y?1所围成的三角形内，而落在这三SxA 1 x?1/3的左边的概率。 角形内各点处的可能性相等，计算这质点落在直线y 解 记求概率的事件为A，则SA
为图中阴影部分，而|?|?1/2，
11?2?155? |SA|???????
22?3?2918h 最后由几何概型的概率计算公式可得
|S|5/1851/3 1 O P(A)?A??. x |?|1/29图2.3 9．（见前面问答题2. 3）
10．已知A?B，P(A)?0.4，P(B)?0.6，求
(1)P(A),P(B)；(2)P(A?B)；(3)P(AB)；(4)P(BA),P(AB)；(5)P(AB). 解 (1)P(A)?1?P(A)?1?0.4?0.6，P(B)?1?P(B)?1?0.6?0.4； (2)P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A)?P(B)?0.6； (3)P(AB)?P(A)?0.4；
(4)P(BA)?P(A?B)?P(?)?0, P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?0.6?0.4; (5)P(AB)?P(B?A)?0.6?0.4?0.2.
11．设A,B是两个事件，已知P(A)?0.5，P(B)?0.7，P(A?B)?0.8，试求P(A?B)及P(B?A). 解 注意到 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)，因而P(AB)?P(A)?P(B) ?P(A?B)?0.5?0.7?0.8?0.4. 于是，P(A?B)?P(A?AB)?P(A)?P(AB) ?0.5?0.4?0.1；P(B?A)?P(B?AB)?P(B)?P(AB)?0.7?0.4?0.3.
2习题三解答
1．已知随机事件A的概率P(A)?0.5，随机事件B的概率P(B)?0.6，条件概率P(B|A)?0.8，试求P(AB)及P(AB).
解 P(AB)?P(A)P(B|A)?0.5?0.8?0.4
P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB)
?1?0.5?0.6?0.4?0.3
2．一批零件共100个，次品率为10%，从中不放回取三次（每次取一个），求第三次才取得正品的概率。
10?9?90819??解 p?.
100?99?9899?9810783．某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19
(1) 已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？ (2) 已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？
解 记A?{基金}，B?{股票}，则P(A)?0.58,P(B)?0.28,P(AB)?0.19
P(AB)0.19??0.327. P(A)0.58P(AB)0.19??0.678. (2) P(A|B)?P(B)0.284．给定P(A)?0.5，P(B)?0.3，P(AB)?0.15，验证下面四个等式：
(1) P(B|A)?P(A|B)?P(A),P(A|B)?P(A), P(B|A)?P(B)，P(B|A)?P(B). P(AB)0.151???P(A) 解 P(A|B)?P(B)0.32P(AB)P(A)?P(AB)0.5?0.150.35????0.5?P(A) P(A|B)?P(B)1?P(B)0.70.7P(AB)0.15??0.3?P(B) P(B|A)?P(A)0.5P(AB)P(B)?P(AB)0.3?0.150.15????P(B) P(A)1?P(A)0.50.55．有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，若坐火车，迟到的概率是0.25，若坐船，迟到的概率是0.3，若坐汽车，迟到的概率是0.1，若坐飞机则不会迟到。求他最后可能迟到的概率。
P(B|A)?解 B?{迟到}，A1?{坐火车}，A2?{坐船}，A3?{坐汽车}，A4?{乘飞机}，则 B??BAi，
i?14且按题意
P(B|A1)?0.25，P(B|A2)?0.3，P(B|A3)?0.1，P(B|A4)?0.
由全概率公式有：
P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?0.3?0.25?0.2?0.3?0.1?0.1?0.145
i?14 6．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。求下列事件的概率： (1) 随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球； (2) 合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。
解 (1) 记B?{该球是红球}，A1?{取自甲袋}，A2?{取自乙袋}，已知P(B|A1)?6/10，P(B|A2)?8/14，所以
161841 P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?????21021470147(2) P(B)??
24127．某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一产品，每个车间的产量分别占全厂的25%，35%，40%，各车间产品的次品率分别为5%，4%，2%，求该厂产品的次品率。
解 0.25?0.05??0.35?0.04?0.4?0.02
?0.0125?0.0140?0.008?0.0345?3.45%
8．发报台分别以概率0.6，0.4发出\?\和\?\，由于通信受到干扰，当发出\?\时，分别以概率0.8和0.2收到\?\和\?\，同样，当发出信号\?\时，分别以0.9和0.1的概率收到\?\和\?\。求(1) 收到信号\?\的概率；(2) 当收到\?\时，发出\?\的概率。
解 记 B?{收到信号\?\}，A?{发出信号\?\} (1) P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)
?0.6?0.8?0.4?0.1?0.48?0.04?0.52
P(A)P(B|A)0.6?0.812??(2) P(A|B)?.
P(B)0.52139．设某工厂有A,B,C三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的25%，35%，40%，各个车间成品中次品的百分比分别为5%，4%，2%，如从该厂产品中抽取一件，得到的是次