X\\Y 0 1 0 28 458 451 8 451 454. 对于第1题中的二维随机变量?X,Y?的分布，写出关于X及关于Y的边缘分布律。 解 把第1题中的联合分布律按行相加得X的边缘分布律为
X -1 0 2 概率 按列相加得Y的边缘分布律为
Y 概率 0 7 121 31 125 121 65 121 1 35. 对于第3题中的二维随机变量?X,Y?的分布律，分别在有放回和无放回两种情况下，写出关于X及关于Y的边缘分布律。
解 在有放回情况下X的边缘分布律为 X 0 1 概率 Y的边缘分布律为
Y 概率 在无放回情况下X的边缘分布律为
X 概率 Y的边缘分布律为
Y 概率 0 4 54 51 50 4 51 1 50 4 51 1 51 1 56. 求在D上服从均匀分布的随机变量?X,Y?的密度函数及分布函数，其中D为x轴、y轴及直线y?2x?1围成的三角形区域。
解 区域D见图5.2。
易算得D的面积为S??1??11，所以?X,Y?的密度函数 244,?x,y??Dy f?x,y??
0,其他1 ?X,Y?的分布函数
12F?x,y????????f?x,y?dxdy
yx121 当??x?0,0?y?2x?1时, 21yx2-1 0 1 x ?F?x,y???0dy?y?14dx?4xy?2y?y； 2图5.2 当x??或y?0时，F?x,y??0； 2当??x?0,y?2x?1时，F?x,y???1dx?0?x2122x?14dy?4x2?4x?1；
当x?0,0?y?1时，F?x,y???0dy?y?14dx?2y?y2；
y0当x?0,y?1时，F?x,y???1dx?0?0222x?14dy?1
综合有
0, x??或y?0
4xy?y2?2y, ?121?x?0且0?y?2x?1 2F?x,y?? 4x2?4x?1, ?1?x?0且y?2x?1 22y?y2, x?0且0?y?1 1, x?0且y?1
7. 对于第6题中的二维随机变量?X,Y?的分布，写出关于X及关于Y的边缘密度函数。 解 X的边缘密度函数为
??fX?x?????f?x,y?dy
= ?02x?14dy,0,114?2x?1?,?x?0??x?0 2 = 2
0,其他其他?Y的边缘密度函数为
?? fY?y?????f?x,y?dx
=
?0y?14dx,2
0?y?1其他 =
0,0?y?12?1?y?,
0,其他8. 在第3题的两种情况下，X与Y是否独立，为什么？
164416，而P?X?0?P?Y?0????，即255525P?X?0,Y?0??P?X?0?P?Y?0?；容易验证P?X?0,Y?1??P?X?0?P?Y?1?,
解 在有放回情况下，由于P?X?0,Y?0??P?X?1,Y?0??P?X?1?P?Y?0?,P?X?1,Y?1??P?X?1?P?Y?1?，由独立性定义知X与Y相互独立。
284416在无放回情况下，由于P?X?0,Y?0??，而P?X?0?P?Y?0????，易见
455525P?X?0,Y?0??P?X?0?P?Y?0?，所以X与Y不相互独立。
9. 在第6题中，X与Y是否独立，为什么？ 解 f??,??4，而fX????2,fY????11??43??1??4??1??3?4，易见3?11??1??1?f??,??fX???fY??，所以X与Y不相?43??4??3?互独立。
10. 设X、Y相互独立且分别具有下列的分布律：
X -2 -1 0 0.5
概率 写出表示?X,Y?的分布律的表格。 解 由于X与Y相互独立，因此
1 41 31 121 3Y 概率 -0.5 1 21 1 43 1 4
PX?xi,Y?yj?P?X?xi?PY?yj,i?1,2,3,4,j?1,2,3,
????例如P?X??2,Y??0.5??P?X??2?P?Y??0.5????
其余的联合概率可同样算得，具体结果为 X\\Y -0.5 -2 1 81412181 1 163 1 1611 121211 0
484811 0.5
121211. 设X与Y是相互独立的随机变量，X服从?0,0.2?上的均匀分布，Y服从参数为5的指数分布，
-1
1 61 241 6求?X,Y?的联合密度函数及P?X?Y?。
解. 由均匀分布的定义知
fX?x??
5,0?x?0.2 0,其他y 由指数分布的定义知
y?05e?5y, fY?y??
其他0,因为X与Y独立，易得?X,Y?的联合密度函数
0?x?0.2,y?025e?5y, f?x,y??fX?x?fY?y?? 其他0,概率P?X?Y????f?x,y?dxdy，
G其中区域G???x,y?|x?y?见图5.3，经计算有
P?X?Y???0dx?025e?5ydy??051?e?5xdx?e?1。
0.2x0.2?? 0.2 x 图5.3 12. 设二维随机变量?X,Y?的联合密度函数为
x?0,y?0ke??3x?4y?,?? fx,y?其他0,求：（1）系数k；（2）P?0?X?1,0?Y?2?；（3）证明X与Y相互独立。 （2）P?0?X?1,0?Y?2???0dy?012e??3x?4y?dx??1?e?3??1?e?8?；
21解 （1）k必须满足??????f?x,y?dxdy?1，即?0dy?0ke??3x?4y?dx?1，经计算得k?12；
????????（3）关于X的边缘密度函数
????3x?4y?x?012edy,? fX?x?????f?x,y?dy? 0??0,其他x?03e?3x,=
其他0,同理可求得Y的边缘密度函数为
x?04e?4y,fY?y??
其他0, 易见f?x,y??fX?x?fY?y?,???x???,???y???，因此X与Y相互独立。
13. 已知二维随机变量?X,Y?的联合密度函数为
f?x,y??
0?x?1,0?y?xk?1?x?y,
0,其他（1）求常数k；（2）分别求关于X及关于Y的边缘密度函数；（3）X与Y是否独立？ ????1x解 （1）k满足??????f?x,y?dxdy?1，即?0dx?0k?1?x?ydy?1解得k?24；
（2）X的边缘密度函数
0?x?124?1?x?ydy, fX?x?????f?x,y?dy? ?0其他0,0?x?112x2?1?x?,??x=
0,
其他
Y的边缘密度函数为
10?y?124?1?x?ydx,? fY?y?? y0,其他 （3）
20?y?112y?1?y?, =
其他0,1111131927?11?f?,??24???，而fX?x??12???,fY?y??12???24342241616?24?，易见
?11??1??1?f?,??fX??fY??，因此X与Y不相互独立。 ?24??2??4?14. 设随机变量X与Y的联合分布律为 X\\Y 0 1 2 350 2 25a 1 b 3 252 251 25且P?Y?1|X?0??，（1） 求常数a,b的值；（2）当a,b取（1）中的值时，X与Y是否独立？为什么？
解 （1）a,b必须满足??pij?1，即
j?1i?123231217，另外由条件?b?a????1，可推出a?b?2525252525概率定义及已知的条件得
P?X?0,Y?1?b3?? 2P?X?0?5?b2531417由此解得b?，结合a?b?可得到a?，
25252514a?25 即
3b?25517143（2）当a?,b?时，可求得P?X?0??,P?Y?0??，易见
252525252P?X?0,Y?0???P?X?0?P?Y?0?
25P?Y?1|X?0??因此，X与Y不独立。
15. 对于第2题中的二维随机变量?X,Y?的分布，求当Y?2时X的条件分布律。
解 易知p?2?P?Y?2??，因此Y?2时X的条件分布律为
X|Y=2 概率 1 p121? p?23122 p221? p?233 p321? p?2316. 对于第6题中的二维随机变量?X,Y?的分布，求当X?x,??解 X的边缘密度函数为（由第7题所求得）
14?2x?1?,??x?0fX?x?? 2
0,其他?1??x?0?时Y的条件密度函数。 ?2?由条件密度函数的定义知当X?x,???1??x?0?时Y的条件密度函数为 ?2?4,0?y?2x?1f?x,y? fY|X?y|x??? 4?2x?1?
fX?x?其他0,10?y?2x?1, = 2x?1
其他0,
习题六解答
1. 设X的分布律为
X 概率 -2 -0.5 0 2 4 11111 84863求出：以下随机变量的分布律。（1）X?2；（2）?X?1；（3）X2。
解 由X的分布律可列出下表 概率 X X?2 ?X?1 X2 1 81 41 81 61 3-2 0 3 4 -0.5 1.5 1.5 0.25 0 2 1 0 2 4 -1 4 4 6 -3 16 由此表可定出
（1）X?2的分布律为
X?2 0 1 8概率 （2）?X?1的分布律为 ?X?1 3 21 42 1 84 1 63 21 46 1 3-3 1 3-1 1 61 1 81 41 43 1 8概率 （3）X2的分布律为
X 20 4 7 2416 1 31 8117其中PX2?4?P?X?2??P?X??2????。
8624概率 ??2. 设随机变量X服从参数??1的泊松分布，记随机变量Y? 布律。
解 由于X服从参数??1的泊松分布，因此
1k?1e?1P?X?k??e?,k?0,1,2,?,
k!k!e?1e?1而 P?Y?0??P?X?1??P?X?0??P?X?1????2e?1；
0!1!?1P?Y?1??P?X?1??1?P?X?1??1?2e。
0,若X?1;1,若X?1,试求随机变量Y的分