即Y的分布律为
Y 概率
3. 设X的密度函数为f?x??
0?x?1;2x, 求以下随机变量的密度函数：（1）2X；（2）?X?1；0,其他,0 2e?1 1 1?2e?1 （3）X2。
解 求连续型随机变量的函数的密度函数可通过先求其分布函数，然后再求密度函数。如果y?g?x?为单调可导函数，则也可利用性质求得。
（1）解法一：设Y?2X，则Y的分布函数
y??FY?y??P?Y?y??P?2X?y??P?X??
2??0y?02yy2= ?02xdx 0??1 =
2y?1122xdx?00y?0y2 0?y?2 41y?2y0?y?2 fY?y??FY??y?? 2
其他0y1解法二：y?2x，x??h?y?，而h??y??，则
22fY?y??fX?h?y??h??y?
y1y?,0??1 = 22 20,其他y0?y?2, = 2
其他0（2）设Y??X?1，则x?1?y?h?y?,h??y???1，Y的密度函数
2?fY?y??fX?h?y??h??y??
2?1?y?????102?y?1?
0?1?y?1 = 0
其他0?1?y?1
其他
（3）设Y?X2，由于X只取?0,1?中的值，所以y?x2也为单调函数，其反函数
h?y??y,h??y??11，因此Y的密度函数为 2yfY?y??fX?h?y??h??y??
2y?0,11,0?y?12y
其他1,0?y?1 0,其他4. 对圆片直径进行测量，测量值X服从?5,6?上的均匀分布，求圆面积Y的概率密度。
1解 圆面积Y??X2，由于X均匀取?5,6?中的值，所以X的密度函数
4 =
fX?x??
1,0,
5?x?6;其他.
且y??x2为单调增加函数?x??5,6??，其反函数
h?y??4y14??2y?,h??y??2111， ?2?y?y?Y的密度函数为
?6; ?y ?0,其他,125,??y?9?; = ?y 4
其他.0,fY?y??fX?h?y??h??y?? 1,5?2y 5. 设随机变量X服从正态分布??0,1?，试求随机变量的函数Y?X2的密度函数fY?y?。 1?x22e,???x???， 解 X~??0,1?，所以fX?x??此时y?x2不为单调函数不能直接利用性2?质求出fY?y?。须先求Y的分布函数FY?y?。
0y?0;2FY?y??P?Y?y??P?X?y??
y?0,P?y?X?y??P?y?X??y???y?yfX?x?dx??y12??yey?x22dx.
1fY?y??FY??y??
2?0,e?2y12y?2y?12?e?212y
,y?0;其他,
1 =
2?ye,
y?0;其他.
0,6. 设随机变量X服从参数为1的指数分布，求随机变量的函数Y?eX的密度函数fY?y?。
x?0;e?x,解 fX?x??
其他.0,1y?ex的反函数h?y??lny,h??y??，因此所求的Y的密度函数为
y1e?lny,lny?0;?y fY?y??fX?h?y??h?y??
其他,0,1,y?1;2 = y
其他.0,7. 设X服从??0,1?，证明?X?a服从??a,?2?,其中a,?为两个常数且??0。
1?x22e,???x???，记Y??X?a，则当??0时，证明 由于X~??0,1?,所以fX?x??2?y?a1,h??y??,因此Y的密度函数为y??x?a为单增函数，其反函数h?y????fY?y??fX?h?y??h??y??12?即证明了?X?a~??a,?2?。
e1?y?a????2???2?1??12??e??y?a?22?2,???y???，
1,若X?；08. 设随机变量X在区间??1,2?上服从均匀分布，随机变量Y? 0,若X?；0 ?1,若X?0.试求随机变量函数Y的分布律。
1?1?x?2;,解 X~R??1,2?，则f?x?? 3
其他.0,011而 P?Y??1??P?X?0???dx?；
?133P?Y?0??P?X?0??0；
212P?Y?1??P?X?0???dx?。
033因此所求分布律为
Y -1 0 1 12 0 概率 339. 设二维随机变量?X,Y?的分布律 X\\Y １ ２ ３ 111 １ 4481 ０ ０ ２ 811 ０ ３ 88求以下随机变量的分布律：（１）X?Y；（２）X?Y；（３）2X；（４）XY。
解 111111 概率 ０ ０ ０ 448888?X,Y? ?1,1? ?1,2? ?1,3? ?2,1? ?2,2? ?2,3? ?3,1? ?3,2? ?3,3? ３ ４ ３ ４ ５ ４ ５ ６ X?Y ２ -2 1 0 -1 2 1 0 -１ X?Y ０ 1 2 3 2 4 6 3 6 9 XY 从而得到 （1）
X?Y ２ ３ ４ ５ 1311 概率 4848（２）
1 0 2 X?Y -２ -1 11111 概率 84448
（３）从联合分布律可求得Ｘ的边缘分布律为 Ｘ １ ２ ３ 511 概率 884由此得2X的分布律为
Ｘ ２ ４ ６
概率
（４）
5 81 81 41 2 3 6 1311 概率 4848?1??1?１０. 设随机变量Ｘ、Ｙ相互独立，X~B?1,?,Y~B?1,?,
?4??4?（１）记随机变量Z?X?Y，求Z的分布律； （２）记随机变量U?2X，求U的分布律。
从而证实：即使Ｘ、Ｙ服从同样的分布，X?Y与2X的分布并不一定相同，直观地解释这一结论。
?1??1??1?解（１）由于X~B?1,?,Y~B?1,?，且Ｘ与Ｙ独立，由分布可加性知X?Y~B?2,?，即
?4??4??4?k2?k?2??1??3?P?Z?k??P?X?Y?k????k???4??4?,k?0,1,2,经计算有
??????０ １ ２ Z 619 概率 161616（２）由于
０ １ X 31 概率 44因此
U?2X ０ ２ 31 概率 44
易见X?Y与2X的分布并不相同。直观的解释是的X?Y与2X的取值并不相同，这是因为X与Y并不一定同时取同一值，因而导致它们的分布也不同。 １１. 设二维随机变量?X,Y?的联合分布律为
X\\Y １ ２ ３ 1 ０ ０ １ 921 ０ ２ 99221 ３ 999（１）求U?max?X,Y?的分布律； （２）求V?min?X,Y?的分布律。
解 （１）随机变量U可能取到的值为１，２，３中的一个，且
XY 1P?U?1??P?max?X,Y??1??P?X?1,Y?1??;9P?U?2??P?max?X,Y??2??P?X?1,Y?2??P?X?2,Y?1??P?X?2,Y?2?211??;993P?U?3??P?max?X,Y??3??0??P?X?1,Y?3??P?X?2,Y?3??P?X?3,Y?1??P?X?3,Y?2??P?X?3,Y?3??0?0?2215???;9999综合有
１ ２ ３ 115 概率 939（２）随机变量V可能取到的值为１，２，３中的一个，且
P?V?1??P?min?X,Y??1???P?X?1,Y?1??P?X?1,Y?2??P?X?1,Y?3??P?X?2,Y?1??P?X?3,Y?1?同理可求得1225?0?0???;9999U 11P?V?2??,P?V?3??,综合有
39１ ２ ３ 511 概率 939 １２. 设二维随机变量?X,Y?服从在Ｄ上的均匀分布，其中Ｄ为直线x?0,y?0，x?2,y?2所围成的区域，求X?Y的分布函数及密度函数。
解 ?X,Y?的联合密度函数为
V y Dz 2 -2 0 2 x 图6.2 ?1?,f(x,y)??4??0?x?2,0?y?2;0,其他. 设Z?X?Y，则Z的分布函数