12. 设随机变量X的密度函数为 f?x?? 2x， 0?x?A 0， 其他， 试求：（1）常数A；（2）X的分布函数。
解 （1）f?x?成为某个随机变量的密度函数必须满足二个条件，其一为f?x??0；其二为
?????f?x?dx?1，因此有?02xdx?1，解得A??1，其中A??1舍去，即取A?1。
A（2）分布函数
F?x??P?X?x?????f?x?dx
x???0dx = ???0dx??02xdx00xxx?0 0?x?1
x???0dx??02xdx??10dx011x?1x?0 = x2 0?x?1
x?113. 设随机变量X的密度函数为f?x??Ae?x,???x???，求：（1）系数A；（2）P?0?X?1?；（3）
X的分布函数。
??解 （1）系数A必须满足???Ae?xdx?1，由于e?x为偶函数，所以
???????x?x?x???Aedx?2?0Aedx?2?0Aedx?1
解得A?；
（2）P?0?X?1???0e?xdx??0e?xdx?（3）F?x?????x111112
2f?x?dx
1211?e?1； 2?? =
x?x???2edxx?01?xx1?x???2edx??02edx0x
x?0
1xx?0???2edx =
01x1x?xx?0edx?e???2?02dx1xx?0e = 2
11?1?e?xx?0221xx?0e = 2
1?x1?ex?02??14. 证明：函数
xf?x?? ce0?x22cx?0
x?0 （c为正的常数）
为某个随机变量X的密度函数。 证 由于f?x??0，且???f?x?dx????e????x?cx22cdx???0e???x2?2cd????x????e2c??2?x22c???1，
0因此f?x?满足密度函数的二个条件，由此可得f?x?为某个随机变量的密度函数。 15. 求出与密度函数
0.5exx?0f?x?? 0.25 0?x?2
0x?2对应的分布函数F?x?的表达式。
解 当x?0时，F?x?????f?x?dx????0.5exdx?0.5ex
xx当0?x?2时，F?x?????f?x?dx????0.5exdx??00.25dx?0.5?0.25x
x0x当x?2时，F?x?????0.5exdx??00.25dx??20dx?0.5?0.5?1
02x综合有
x?0;0.5ex,F?x?? 0.5?0.25x, 0?x?2;
x?2.1,16. 设随机变量X在?1,6?上服从均匀分布，求方程t2?Xt?1?0有实根的概率。
解 X的密度函数为
1, 1?x?6； 5 0, 其他.
f?x??
方程t2?Xt?1?0有实根的充分必要条件为X2?4?0，即X2?4，因此所求得概率为
461PX2?4?P?X??2或X?2??P?X??2??P?X?2??0??2dx?。
55?? 17. 设某药品的有效期X以天计，其概率密度为
f?x??
20000?x?100?3, x?0;
0， 其他.
求：(1) X的分布函数；(2) 至少有200天有效期的概率。
x?0;0,解 (1) F?x?????f?x?dx= x 20000
dx,?0?x?100x?0.?3x?0;0, = 10000
1?,x?0.?x?100?2x(2)P?X?200??1?P?X?200??1?F?200??1???1???10000?200?100?2?1?? 。 ?9? 18. 设随机变量X的分布函数为
x?0
1??1?x?e?x,x?0求X的密度函数，并计算P?X?1?和P?X?2?。
F?x?? 0,
解 由分布函数F?x?与密度函数f?x?的关系，可得在f?x?的一切连续点处有f?x??F??x?，因此
x?0xe?x, f?x?? 其他0,所求概率P?X?1??F?1??1??1?1?e?1?1?2e?1；
19. 设随机变量X的分布函数为F?x??A?Barctanx,???x???，求(1) 常数A,B；(2)P?X?1?；(3) 随机变量X的密度函数。
P?X?2??1?P?X?2??1?F?2??1?1??1?2?e?2?3e?2。
??解：(1)要使F?x?成为随机变量X的分布函数，必须满足limF?x??0,limF?x??1，即
x???x???lim?A?Barctanx??0lim?A?Barctax?n?1x???x???
B?0A??2计算后得
A?B?121A?2 解得
1B??
?1111时，F?x???arctanx也满足分布函数其余的几条性质。
2?2?（2） P?X?1??P??1?X?1??F?1??F??1?
另外，可验证当A?,B??11?11??arctan1???arctan??1?? 2??2??1?1???????????? ?4??4?21,???x???。 2?1?x（3）X的密度函数
f?x??F??x???? 20. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（单位：min）服从??的指数分布，其密度函数
xx?01?5为f?x?? 5e, ，某顾客在窗口等待服务，若超过10min，他就离开。
其他015（1）设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率；
（2）设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中至多有一次未等到服务的概率。
解 （1）设随机变量X表示某顾客在银行的窗口等待服务的时间，依题意X服从??的指数分布，且顾客等待时间超过10min就离开，因此，顾客未等到服务就离开的概率为
P?X?10???10??151?5edx?e?2； 5x（2）设Y表示某顾客五次去银行未等到服务的次数，则Y服从n?5,p?e?2的二项分布，所求概率为
P?Y?1??P?Y?0??P?Y?1??5??2???0??e?????1?e?0?25?5??2?2???1??e1?e????4
?1?4e?21?e?2????421. 设X服从??0,1?，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）P?X?2.2?；（2）
P?X?176?；（3）P?X??0.78?；（4）P?X?1.55?；（5）P?X?2.5?。
解 查正态分布表可得
（1）P?X?2.2????2.2??0.9861；
（2）P?X?1.76??1?P?X?1.76??1???1.76??1?0.9608?0.0392； （3）P?X??0.78?????0.78??1???0.78??1?0.7823?0.2177； （4）P?X?1.55??P??1.55?X?1.55????1.55?????1.55?
???1.55???1???1.55???2??1.55??1?2?0.9394?1?0.8788 （5）
P?X?2.5??1?P?X?2.5??1??2??2.5??1?
?2?2??2.5??2?1?0.9938??0.0124。
22. 设X服从???1,16?，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）（2）P?X?2.44?；P?X??1.5?；（3）P?X??2.8?；（4）P?X?4?；（5）P??5?X?2?；（6）P?X?1?1?。
解 当X~???,?2?时，P?a?X?b????数表可求得
?2.44?1?????0.86??0.8051；
?4???1.5?1?（2）P?X??1.5??1?????1????0.125?
4???1??1???0.125?????0.125??0.5498；
?b????a????????，借助于该性质，再查标准正态分布函??????（1）P?X?2.44??????2.8?1??????0.45??1???0.45??1?0.6736?0.3264； 4???4?1???4?1?（4）P?X?4????????????1.25?????0.75?
44???????1.25??1???0.75??0.8944?1?0.7734?0.6678；
（3）P?X??2.8????（5）P??5?X?2???????0.75????1??1?0.7734?0.8413?1?0.9321；
?2?1???5?1?????????0.75?????1? 44????（6）P?X?1?1??1?P?X?1?1??1?P?0?X?2??1??????2?1??0?1???????? 44???????1???0.75????0.25??1?0.7724?0.5987?0.8253。
23. 某厂生产的滚珠直径服从正态分布??2.05,0.01?，合格品的规格规定为2?0.2，求该厂滚珠的合格率。
解 所求得概率为
?2.2?2.05??1.8?2.05?P?2?0.2?X?2?0.2?????????0.10.1???????1.5?????2.5????1.5??1???2.5? ?0.9332?1?0.9938?0.92724. 某人上班所需的时间X~??30,100?（单位：min）已知上班时间为8：30，他每天7：50出
门，求：（1）某天迟到的概率；（2）一周（以5天计）最多迟到一次的概率。
解 （1）由题意知某人路上所花时间超过40分钟，他就迟到了，因此所求概率为
?40?30?P?X?40??1?????1???1??1?0.8413?0.1587；
?10?（2）记Y为5天中某人迟到的次数，则Y服从n?5,p?0.1587的二项分布，5天中最多迟到一
次的概率为
?5??5?054?????????P?Y?1???0.1587?0.8413?0.1587?0.8413?0.8192。 ?1??1?????
习题五解答
1. 二维随机变量?X,Y?只能取下列数组中的值：?0,0?,??1,1?,??1,?,?2,0?，且取这些组值的概率依次为,,1115,，求这二维随机变量的分布律。
631212解 由题意可得?X,Y?的联合分布律为
??1?3?X\\Y -1 0 0 0 1 31 121 1 31 0 0 65 2 0 0 122. 一口袋中有四个球，它们依次标有数字1,2,2,3。从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球。设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同。以X、Y分别记第一、二次取到的球上标有的数字，求?X,Y?的分布律及P?X?Y?。
解 X可能的取值为1,2,3，Y可能的取值为1,2,3，相应的，其概率为
1?211?11?,P?X?1,Y?3???,4?364?3122?112?112?11P?X?2,Y?1???,P?X?2,Y?2???,P?X?2,Y?3???,
4?364?364?3611?21P?X?3,Y?1??,P?X?3,Y?2???,P?X?3,Y?3??0.124?36P?X?1,Y?1??0,P?X?1,Y?2??或写成
X\\Y 1 1 0 2 3 11 612111 2 66611 3 0 6121P?X?Y??P?X?1,Y?1??P?X?2,Y?2??P?X?3,Y?3??。
63. 箱子中装有10件产品，其中2件为次品，每次从箱子中任取一件产品，共取2次，定义随机变量X、Y如下：
X= 0， 若第一次取出正品； Y= 0， 若第二次取出正品； 1， 若第一次取出次品； 1， 若第二次取出次品。 分别就下面两种情况求出二维随机变量?X,Y?的联合分布律：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。
解 （1）在放回抽样时，X可能取的值为0,1，Y可能取的值也为0,1，且
8?8168?24?,P?X?0,Y?1???,10?102510?1025 2?842?21P?X?1,Y?0???,P?X?1,Y?1???,10?102510?1025P?X?0,Y?0??或写成
X\\Y 0 1 0 16 254 251 4 251 25（2）在无放回情形下，X、Y可能取的值也为0或1，但取相应值的概率与有放回情形下不一样，具体为
8?7288?28?,P?X?0,Y?1???,10?94510?945
2?882?11P?X?1,Y?0???,P?X?1,Y?1???,10?94510?945P?X?0,Y?0??或写成