品，求它依次是车间A,B,C生产的概率。
解 为方便计，记事件A,B,C为A,B,C车间生产的产品，事件D?{次品}，因此 P(D)?P(A)P(D|A)?P(B)P(D|B)?P(C)P(D|C) ?0.25?0.05?0.35?0.04?0.4?0.02 ?0.0125?0.014?0.008?0.0345
P(A)P(D|A)0.25?0.05P(A|D)???0.362
P(D)0.0345P(B)P(D|B)0.35?0.04P(B|D)???0.406
P(D)0.0345P(C)P(D|C)0.4?0.02P(C|D)???0.232
P(D)0.034510．设A与B独立，且P(A)?p,P(B)?q，求下列事件的概率：P(A?B)，P(A?B)，P(A?B). 解 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?p?q?pq
P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?p?1?q?p(1?q)?1?q?pq P(A?B)?P(AB)?1?P(A)P(B)?1?pq
11．已知A,B独立，且P(AB)?1/9,P(AB)?P(AB)，求P(A),P(B). 解 因P(AB)?P(AB)，由独立性有
P(A)P(B)?P(A)P(B)
从而 P(A)?P(A)P(B)?P(B)?P(A)P(B) 导致 P(A)?P(B)
再由 P(AB)?1/9，有 1/9?P(A)P(B)?(1?P(A))(1?P(B))?(1?P(A))2 所以 1?P(A)?1/3。最后得到 P(B)?P(A)?2/3.
12．甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为1/3，1/2，2/3，求目标被命中的概率。
解 记 B?{命中目标}，A1?{甲命中}，A2?{乙命中}，A3?{丙命中}，则 B??Ai，因
i?13而
?3?21118?P(B)?1?P?A?1?P(A)P(A)P(A)?1????1?? 123??i?32399.?i?1?13．设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件不通达的概率为p，求这个装置通达的概率。假定各个元件通达与否是相互独立的。 1 2 解 记 A?{通达}，
Ai?{元件i通达}，i?1,2,3,4,5,6
3 4 则 A?A1A2?A3A4?A5A6， 所以
5 6 P(A)?P(A1A2)?P(A3A4)?P(A5A6)
图3.1 ?P(A1A2A3A4)?P(A3A4A5A6)?P(A1A2A5A6)?P(A1A2A3A4A5A6) ?3(1?p)2?3(1?p)4?(1?p)6
14．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作日里发生3次故障的概率。
?5?32解 p??2?3??(0.2)(0.8)?0.051.
??15．灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。
?3??3?32???解 p??. (0.2)??0.8?(0.2)?0.008?0.096?0.104?3??2?????16．设在三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于19/27，求事件A在每次试验中出现的概率P(A).
解 记Ai?{A在第i次试验中出现}，i?1,2,3. p?P(A)
?3?193依假设 ??P?A?1?P(AAA)?1?(1?p)?i123??27?i?1?8所以， (1?p)3?， 此即 p?1/3.
2717．加工一零件共需经过3道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%. 假设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。
解 注意到，加工零件为次品，当且仅当1-3道工序中至少有一道出现次品。记 Ai?{第i道工序为次品}，i?1,2,3. 则次品率
?3?p?P???Ai???1?P(A1)P(A2)P(A3)?1?0.98?0.97?0.95?1?0.90307?0.097
?i?1?18．三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为0.25，0.35，0.4. 求此密码被译出的概率。
解 记 A?{译出密码}， Ai?{第i人译出}，i?1,2,3. 则 ?3?P(A)?P???Ai???1?P(A1)P(A2)P(A3) ?i?1??1?0.75?0.65?0.6?1?0.2925?0.707519．将一枚均匀硬币连续独立抛掷10次，恰有5次出现正面的概率是多少？有4次至6次出现正面的概率是多少？
10?10??1?63?解 (1) ? ； ????5?2256????10?10??1?(2) ???k???2?.
k?4????20．某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T，各电梯正在运行的概率均为0.75，求：
(1) 在此时刻至少有1台电梯在运行的概率； (2) 在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率； (3) 在此时刻所有电梯都在运行的概率。
255解 (1) 1?(1?0.75)4?1?(0.25)4?
25622?4?3127????22?(2) ? (0.75)(0.25)?6????????2?44128??????681?3?(3) (0.75)????
256?4?44
习题四解答
1. 下列给出的数列，哪些是随机变量的分布律，并说明理由。
i（1）pi?,i?0,1,2,3,4,5；
15?5?i2?,i?0,1,2,3； （2）pi?61（3）pi?,i?2,3,4,5；
4i?1,i?1,2,3,4,5。 （4）pi?25解 要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证pi是否满足下列二个条件：其一条件为pi?0,i?1,2,?，其二条件为?pi?1。
i依据上面的说明可得（1）中的数列为随机变量的分布律；（2）中的数列不是随机变量的分布律，
5?94因为p3?（3）中的数列为随机变量的分布律；（4）中的数列不是随机变量的分布律，???0；
66520?1。 这是因为?pi?25i?1c2. 试确定常数c，使P?X?i??i,?i?0,1,2,3,4?成为某个随机变量X的分布律，并求：P?X?2?；
25??1P??X??。
2??24cc16解 要使i成为某个随机变量的分布律，必须有?i?1，由此解得c?；
312i?02（2） P?X?2??P?X?0??P?X?1??P?X?2?
16?11?28 ??1????
31?24?315?16?11?12?1（3）P??X???P?X?1??P?X?2??????。
2?31?24?31?23. 一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2这样的数字。从这袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X的分布律与分布函数。
111解 X可能取的值为-3，1，2，且P?X??3??,P?X?1??,P?X?2??，即X的分布律为
326X -3 1 2 111 概率 326X的分布函数
0 x??3
1F?x??P?X?x?= ?3?x?1
35 1?x?2
6 1 x?2
4. 一袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3，4，5，从中随机地取3个，以X表示取出的3个球中最大号码，写出X的分布律和分布函数。
解 依题意X可能取到的值为3，4，5，事件?X?3?表示随机取出的3个球的最大号码为3，则另两个球的只能为1号，2号，即P?X?3??11?；事件?X?4?表示随机取出的3个球的最大510????3?????3?1???2?????3；同理可得号码为4，因此另外2个球可在1、2、3号球中任选，此时P?X?4??10?5????3????4?1???2?????6。 P?X?5??10?5????3???X的分布律为
X 概率 3 1 104 3 105 6 10X的分布函数为
0 x?3
1 3?x?4 104 4?x?5
10 1 x?5
F?x??
5. 在相同条件下独立地进行5次射击，每次射击时击中目标的概率为0.6，求击中目标的次数X的分布律。
解 依题意X服从参数n?5,p?0.6的二项分布，因此，其分布律
?5?k5?kP?X?k????k??0.60.4,k?0,1,?,5，
??具体计算后可得 X 概率 0 32 31251 48 6252 144 6253 216 6254 162 6255 243 31256. 从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件一件的抽取。设每次抽取时，各件产品被抽到的可能性相等。在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次数X的分布律。
（1） 每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品； （2） 每次取出的产品都不放回这批产品中； （3） 每次取出一件产品后总是放回一件正品。
解 （1）设事件Ai,i?1,2,?表示第i次抽到的产品为正品，依题意，A1,?,An,?相互独立，且
P?Ai??10,i?1,2,?而 13P?X?k??PA1?Ak?1Ak?PA1?PAk?1???????3?P?Ak?????13?k?110,k?1,2,? 13即X服从参数p?P?X?1??10的几何分布。 13（2）由于每次取出的产品不再放回，因此，X可能取到的值为1，2，3，4，
103?105,P?X?2???,1313?1226
3?2?1053?2?1?101P?X?3???,P?X?4???.13?12?1114313?12?11?10286X的分布律为
X 概率 P?X?1??1 10 132 5 263 5 1434 1 286（3）X可能取到的值为1，2，3，4， 103?1133,P?X?2???,1313?13169
3?2?12723?2?16P?X?3???,P?X?4???.13?13?13219713?13?132197所求X的分布律为
X 概率 1 10 132 33 1693 72 21974 6 2197由于三种抽样方式不同，导致X的分布律也不一样，请仔细体会它们的不同处。 7. 设随机变量X~B?6,p?，已知P?X?1??P?X?5?，求p与P?X?2?的值。
k6?k解 由于X~B?6,p?，因此P?X?6??????p?1?p?,k?0,1,?,6。
?6??k?由此可算得 P?X?1??6p?1?p?5,P?X?5??6p5?1?p?, 即 6p?1?p?5?6p5?1?p?, 解得p?；
?6??1??1?此时，P?X?2????2???2??2???????26?212
6?5?1?15?????。 2!?2?646 8. 掷一枚均匀的硬币4次，设随机变量X表示出现国徽的次数，求X的分布函数。
解 一枚均匀硬币在每次抛掷中出现国徽的概率为，因此X服从n?4,p?的二项分布，即
?4??1??1?P?X?k????k?????????2??2?k4?k1212,k?0,1,2,3,4
由此可得X的分布函数
0， x?0
1， 0?x?1 165 F?x?? ， 1?x?2
1611 ， 2?x?3
1615 ， 3?x?4
16 1， x?4
9. 某商店出售某种物品，根据以往的经验，每月销售量X服从参数??4的泊松分布，问在月初进货时，要进多少才能以99%的概率充分满足顾客的需要？
解 设至少要进n件物品，由题意n应满足 P?X?n?1??0.99,P?X?n??0.99, 即 P?X?n?1???nn?14kk?0k!e?4?0.99
4k?4P?X?n???e?0.99
k?0k!查泊松分布表可求得 n?9。
10. 有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001，在某天该段时间内有1000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率。
解 设X为1000辆汽车中出事故的次数，依题意，X服从n?1000,p?0.0001的二项分布，即X~B?1000,0.0001?，由于n较大，p较小，因此也可以近似地认为X服从??np?1000?0.0001?0.1的泊松分布，即X~P?0.1?，所求概率为
P?X?2??1?P?X?0??P?X?1?0.10?0.10.11?0.1 ?1?e?e0!1!?1?0.904837?0.090484?0.004679.11. 某试验的成功概率为0.75，失败概率为0.25，若以X表示试验者获得首次成功所进行的试验次数，写出X的分布律。
解 设事件Ai表示第i次试验成功，则P?Ai??0.75，且A1,?,An,?相互独立。随机变量X取k意味着前k?1次试验未成功，但第k次试验成功，因此有
P?X?k??P?A1?Ak?1Ak??P?A1??P?Ak?1?P?Ak??0.25k?10.75
所求的分布律为 X 1 2 k … … 0.75 0.25?0.75 概率 … … 0.25k?1?0.75