【新】高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式第1节二维形式的柯西不等式创新应用教学案新人教A版选修4_5
小中高 精品 教案 试卷
制作不易 推荐下载 8 ∴x －6＋12－x ≤23(当x ＝9时，“＝”成立)．
答案：2 3
7．设xy >0，则? ????x 2＋4y 2? ??
??y 2＋1x 2的最小值为________． 解析：原式＝??????x 2＋? ????2y 2????
??? ????1x 2＋y 2 ≥? ??
??x ·1x ＋2y ·y 2
＝9. 答案：9
8．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则(4a ＋1＋4b ＋1)2的最大值是________．
解析：(4a ＋1＋4b ＋1)2＝(1×4a ＋1＋1×4b ＋1)2≤(12＋12)(4a ＋1＋4b ＋1)＝2[4(a ＋b )＋2]＝2(4×1＋2)＝12.
答案：12
三、解答题
9．已知a 2＋b 2＝1, x 2＋y 2＝1，求证：|ax ＋by |≤1.
证明：由柯西不等式得
(ax ＋by )2≤(a 2＋b 2)(x 2＋y 2)＝1.
故|ax ＋by |≤1成立．
10．已知实数a 、b 、c 满足a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1.
求证：－23
≤c ≤1. 证明：因为a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1，
所以a ＋2b ＝1－c ，a 2＋b 2＝1－c 2.
由柯西不等式得
(12＋22)(a 2＋b 2)≥(a ＋2b )2，
5(1－c 2)≥(1－c )2，
整理得，3c 2－c －2≤0，
解得－23≤c ≤1.所以－23≤c ≤1.