6
3P(ABC)?1?[?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC)]
2整理得
12P(ABC)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?.
2 3．设0 < P(A) < 1，0 < P(B) < 1，P(A|B) +P(A|B)?1，试证A与B独立． 证明：因为P(A|B) +P(A|B)?1，所以
P(AB)P(AB)P(AB)1?P(A?B)????1, P(B)P(B)P(B)1?P(B)将P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)代入上式得
P(AB)1?P(A)?P(B)?P(AB)??1, P(B)1?P(B)两边同乘非零的P(B)[1-P(B)]并整理得到
P(AB)?P(A)P(B),
所以A与B独立.
4．设A，B是任意两事件，其中A的概率不等于0和1，证明P(B|A)?P(B|A)是事件A与B独立的充分必要条件．
证明：充分性，由于P(B|A)?P(B|A)，所以
P(AB)P(AB)?,即
P(A)P(A)P(AB)P(B)?P(AB)?,
P(A)1?P(A)两边同乘非零的P(A)[1-P(A)]并整理得到P(AB)?P(A)P(B),所以A与B独立. 必要性：由于A与B独立，即P(AB)?P(A)P(B),且P(A)?0,P(A)?0,所以 一方面
P(B|A)?另一方面
P(AB)P(A)P(B)??P(B),
P(A)P(A)P(B|A)?所以P(B|A)?P(B|A).
P(AB)P(B)?P(AB)P(B)?P(A)P(B)???P(B),
P(A)P(A)P(A) 5．一学生接连参加同一课程的两次考试．第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为
p. 2 (1) 若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率． (2) 若已知他第二次及格了，求他第第一次及格的概率．
解：设Ai=“第i次及格”，i=1，2.已知P(A1)?p,P(A2|A1)?p,P(A2|A1)?由全概率公式得 6
p, 27
P(A2)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)?p2?(1?p)(1) 他取得该资格的概率为
p 2P(A1?A2)?P(A1)?P(A2)?P(A1A2)?P(A1)?P(A2)?P(A1)P(A2|A1),p3p?p22?p?p?(1?p)?p?.222
(2) 若已知他第二次及格了，他第一次及格的概率为
P(A1|A2)?P(A1A2)P(A1)P(A2|A1)p?p2p???.
pP(A2)P(A2)p?1p2?(1?p)2 6．每箱产品有10件，其中次品从0到2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品为不合格而拒收．由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为2%，一件次品被误判为正品的概率为10%．求检验一箱产品能通过验收的概率．
解：设Ai=“一箱产品有i件次品”，i=0，1，2.设M=“一件产品为正品”，N=“一件产品被检验为正品”. 已知P(A0)?P(A1)?P(A2)?由全概率公式
1,P(N|M)?0.02,P(N|M)?0.1, 31989(1??)?, 3101010P(M)?P(A0)P(M|A0)?P(A1)P(M|A1)?P(A2)P(M|A2)?P(M)?1?P(M)?1?91?,又P(N|M)?1?P(N|M)?1?0.02?0.98, 101091?0.98??0.1?0.892. 1010由全概率公式得一箱产品能通过验收的概率为
P(N)?P(M)P(N|M)?P(M)P(N|M)? 7．用一种检验法检验产品中是否含有某种杂质的效果如下．若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8；若真含不有杂质检验结果为不含有的概率为0.9；据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4和0.6．今独立地对一产品进行三次检验，结果是两次检验认为含有杂质，而有一次认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率．
解：A=“一产品真含有杂质”，Bi=“对一产品进行第i次检验认为含有杂质”，i=1,2,3.
已知独立进行的三次检验中两次认为含有杂质，一次认为不含有杂质，不妨假设前两次检验认为含有杂质，第三次认为检验不含有杂质，即B1，B2发生了，而B3未发生. 又知P(Bi|A)?0.8,P(Bi|A)?0.9,P(A)?0.4,所以
P(Bi|A)?0.2,P(Bi|A)?0.1,P(A)?0.4,P(A)?0.6,
所求概率为P(A|B1B2B3)?P(AB1B2B3)P(A)P(B1B2B3|A)?,
P(B1B2B3)P(A)P(B1B2B3|A)?P(A)P(B1B2B3|A)由于三次检验是独立进行的，所以
P(A|B1B2B3)??P(A)P(B1|A)P(B2|A)P(B3|A)P(A)P(B1|A)P(B2|A)P(B3|A)?P(A)P(B1|A)P(B2|A)P(B3|A)0.4?0.8?0.8?0.2?0.905.0.4?0.8?0.8?0.2?0.6?0.1?0.1?0.9
7
8
8．火炮与坦克对战，假设坦克与火炮依次发射，且由火炮先射击，并允许火炮与坦克各发射2发，已知火炮与坦克每次发射的命中概率不变，它们分别等于0.3和0.35.我们规定只要命中就被击毁．试问 (1) 火炮与坦克被击毁的概率各等于多少？ (2) 都不被击毁的概率等于多少？
解：设Ai=“第i次射击目标被击毁”，i=1,2,3,4. 已知P(A1)?P(A3)?0.3,P(A2)?P(A4)?0.35,所以
P(A1)?P(A3)?0.7,P(A2)?P(A4)?0.65,
(1) 火炮被击毁的概率为
P(A1A2?A1A2A3A4)?P(A1A2)?P(A1A2A3A4)?P(A1)P(A2)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)?0.7?0.35?0.7?0.65?0.7?0.35?0.356475 坦克被击毁的概率为
P(A1?A1A2A3)?P(A1)?P(A1A2A3)?P(A1)?P(A1)P(A2)P(A3)?0.3?0.7?0.65?0.3?0.4365 (2) 都不被击毁的概率为
P(A1A2A3A4)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)?0.7?0.65?0.7?0.65?0.207025.
9．甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两次为止，此人即为冠军，而每次比赛双方取胜的概率都是
1，现假定甲乙两人先比，试求各人得冠军的概率． 2 解：Ai=“甲第i局获胜”， Bi=“乙第i局获胜”，Bi=“丙第i局获胜”，i=1,2,….， 已知P(Ai)?P(Bi)?P(Ci)?1,i?1,2,...，由于各局比赛具有独立性，所以 2369在甲乙先比赛，且甲先胜第一局时，丙获胜的概率为
1?1??1??1?P(A1C2C3?A1C2B3A4C5C6?A1C2B3A4C5B6A7C8C9?...)??????????...?,7同样，在甲乙?2??2??2?1, 7先比赛，且乙先胜第一局时，丙获胜的概率也为丙得冠军的概率为2?12125?,甲、乙得冠军的概率均为(1?)?.
271477第二章
2
二、单项选择题：
1. B，由概率密度是偶函数即关于纵轴对称，容易推导
F(-a)=
?a00a101f(x)dx?-?f(x)dx???f(x)dx
2-a20???f(x)dx????f(x)dx-?x???-a2. B，只有B的结果满足F(??)?limF(x)?1 3. C，根据分布函数和概率密度的性质容易验证 8
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4. D，Y???2,X?2，可以看出Y不超过2，所以
?X,X?21, y?2?1, y?2 y?2??1, ???x?yFY(y)?P?Y?y?????y1???,??0，
?edx,y?2??PX?y,y?2????1?e,y?2??0?可以看出，分布函数只有一个间断点.
5. C, 事件的概率可看作为事件A（前三次独立重复射击命中一次）与事件B（第四次命中）同时发生的概率，即
1 p?P(AB)?P(A)P(B)?C3p(1?p)3?2?p.
三、解答题
（A）
1．(1)
X pi
分析：这里的概率均为古典概型下的概率，所有可能性结果共36种，如果X=1，则表明两次中至少有一点数
1为1，其余一个1至6点均可，共有C2?6-1（这里C2指任选某次点数为1，6为另一次有6种结果
11 2 3 4 5 6 11 369 367 365 363 361 36均可取，减1即减去两次均为1的情形，因为C2?6多算了一次）或C2?5?1种，故
11C2?6-1C2?5?111P?X?1????,其他结果类似可得.
36363611(2)
x?1? 0 ，?P{X?1}，1?x?2??P{X?1}?P{X?2}，2?x?3? F(x)??P{X?1}?P{X?2}?P{X?3}， 3?x?4?P{X?1}?P{X?2}?P{X?3}?P{X?4}， 4?x?5??P{X?1}?P{X?2}?P{X?3}?P{X?4}?P{X?5}，5?x?6?1 ，? x?6 9
10
x?1? 0 ，?11?，1?x?236??202?x?3?，36??27 3?x?4 ??，?36?32 4?x?5?36，??35，5?x?6?36? x?6?1 ，2．
X1 pi -9 9125126 1126注意，这里X指的是赢钱数，X取0-1或100-1，显然P?X?99??21. ?5C101263．
?ak!?ae??1，所以a?e?.
????kk?0?0，x?-1?1?0，x?-1?，?1?x?2?P{X??1}，?1?x?2??44．(1) f(x)??， ??P{X??1}?P{X?2}，2?x?33??，2?x?3??4?1，x?3?1，x?3?(2) P?X?1?15?1?3??p?X??1??、 P??X???P?X?2??、 2?42?2?23 P?2?X?3??P??X?2???X?3???P?X?2??P?X?3??；
4???1?1?2?1?2i111225．(1) P?X?偶数??2?4???2i???lim??i???12221??22?151?， (2) P?X?5??1?P?X?4??1?1616???????1， ?3?? 10