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解：依题意，X~B(n，1/n)，所以E (X ) =1.
5. 设X~P(?)，且P{X?5}?P{X?6}，求E(X)． 解：由题意知X～P（?），则X的分布律P ?X?k?=
?k?k!e?，k = 1,2,...
56又P?X?5?=P?X?6?, 所以 ?????5!e??6!e
解得 ??6，所以E(X) = 6.
6. 设随机变量X的分布律为P{X?k}?6?2k2,k?1,?2,3,?4,?,问X的数学期望是否存在？ 解：因为级数??((?1)k?1k?6??k?1?2k2)??((?1)k?166?2k)??2(?1)k?11k?1?k?1k， 而
??1发散，所以X的数学期望不存在. k?1k7. 某城市一天的用电量X（十万度计）是一个随机变量，其概率密度为
?f(x)??1?xe?x/3,x?0, ?9?0其它.求一天的平均耗电量．
解：E(X) =??xf(x)dx??1???0xxe?x/3dx?1??x2e?x/3990dx=6. 8. 设某种家电的寿命X（以年计）是一个随机变量，其分布函数为
?F(x)???1?25x2,x?5,
??0其它.求这种家电的平均寿命E(X)．
解：由题意知，随机变量X的概率密度为f(x)?F?(x)
当x>5时，f(x)? ??2?25x3?50x3，当x?5时，f(x)?0. E(X) =?????5050-?xf(x)dx??5xx3dx??x|??5?10 所以这种家电的平均寿命E(X)=10年.
9. 在制作某种食品时，面粉所占的比例X的概率密度为
f(x)???42x(1?x)5,0?x?1, ?0其它.求X的数学期望E(X)．
解：E(X) =
???-?xf(x)dx??1042x2(1?x)5dx=1/4
10. 设随机变量X的概率密度如下，求E(X)．
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?32(1?x)，?1?x?0，?2??3f(x)??(1?x)2,0?x?1，
?20，其它.?????031322解：E(X)??xf(x)dx??x(1?x)dx??x(1?x)dx?0.
???120211. 设X~B(4,p)，求数学期望E(sin?X．
)2kk解：X的分布律为P{X?k}?Cnp(1?p)n?k， k = 0，1，2，3，4，
X取值为0，1，2，3，4时，sin?X相应的取值为0，1，0，-1，0，所以
2E(sin?X21133)?1?C4p(1?p)3?1?C4p(1?p)1?4p(1?p)(1?2p)
W?kV， 12. 设风速V在(0，a)上服从均匀分布，飞机机翼受到的正压力W是V的函数：（k > 0，常数），
求W的数学期望．
2?1, 0?v?a?a解：V的分布律为f(v)??，所以 ?0, 其它???a11k1aE(W)??kv2f(v)dx??kv2dv?(v3)|0?ka2
??03aa313. 设随机变量(X, Y )的分布律为
Y X 0 1 2 求E(X)，E(Y )，E(X – Y )．
解：E(X)=0×(3/28+9/28+3/28）+1×(3/14+3/14+0)+ 2×(1/28+0+0)= 7/14=1/2 E(Y)=0×（3/28+3/14+1/28）+1×(9/28+3/14+0)+ 2×(3/28+0+0)=21/28=3/4 E(X-Y) = E(X)- E(Y)=1/2-3/4= -1/4.
0 3/28 3/14 1/28 1 9/28 3/14 0 2 3/28 0 0 ?24xy,0?x?1,0?y?1,x?y?114. 设随机变量(X，Y)具有概率密度f(x,y)??，求E(X)，E(Y)，E(XY)
其它?0,解：E(X)=
12x?24xydxdy?24x????ydydx D0011?xy11122212??24x?(1?x)dx??(12x2?24x3?x4)dx?(4x3?6x4?x5)? 002550y??x?1x 32
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E(Y)???y?24xydxdy??24y2?xdxdy?2/5D0011?y
E(XY)???xy?24xydxdy??124x21?xy2dydx?D0??1024x2?103(1?x)3dx
?(824413x3?6x4?5x5?23x6)?.015 15. 某工厂完成某批产品生产的天数X是一个随机变量，具有分布律
X 10 11 12 13 14 pi 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1 所得利润（以元计）为Y?1000(12?X),求E(Y)，D(Y)． 解： E(Y) = E［1000(12-X)］
=1000×[(12-10)×0.2+(12-11)]×0.3+(12-12)×0.3+(12-13)×0.1+(12-14)×0.1] = 400
E(Y2) = E［10002(12-X)2］
=10002[(12-10)2×0.2+（12-11）2×0.3+（12-12）2×0.3+（12-13）2×0.1 +（12-14）2×0.1]=1.6×106
D(Y)=E(Y2)-［E(Y)］2=1.6×106- 4002=1.44×106
16. 设随机变量X服从几何分布 ，其分布律为P{X?k}?(1?p)k?1p,k?1,2,?, 其中0 < p < 1是常数，求E(X)，D(X)．
解：令q=1- p ,则
????E(X)??(k?P{X?k})??(k?qk?1p)?pk?1k?1?k?qk?1?p?dqk
?pdk?1k?1dqdq??qk?pd(1)?1/pk?0dq1?q2?2?2k?1?k?E(X)??(k?P{X?k})??(k?qp)?p[k?1)?q?1?qk?1]
k?1k?1?k(k?1?k?k?1???pq??k(k?1)?qk?21/p?pqqk)?1/p
k?1?d2kd2?k?0dq2q?1/p?pq(dq2?k?1?pqd212dq2(1?q)?1/p?pq(1?q)3?1/p?2q/p2?1/p D(X) = E(X2)- E(X) =2q/p2+1/p-1/p2 = (1-p)/p2
?117. 设随机变量X的概率密度为f(x)????1?x2,|x|?1，试求E(X)，D(X)． ??0,其它解：E(X)=
????xf(x)dx??11?1x?1?x2dx?0
D(X)= E(X2)=
??2x)dx??1x21?/2sin2t??xf(?1?1?x2dxx?sintt?[??/2,?/2]???/2?costdt
?2?/21?cos2t??02dt?12 18. 设随机变量(X，Y)具有D(X) = 9，D(Y) = 4，?XY??1/6，求D(X?Y)，D(X?3Y?4)． 解：因为?Cov(X,Y)XY?D(X)D(Y)，所以
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Cov(X,Y)??XYD(X)D(Y)=-1/6×3×2=-1,
D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)?9?4?2?11
D(X?3Y?4)?D(X)?9D(Y)?2Cov(X,?3Y)?9?36?6(?1)?51
19. 在题13中求Cov(X，Y)，?XY． 解：E(X) =1/2, E(Y) =3/4,
E(XY)=0×(3/28+9/28+3/28+3/14+1/28）+1×3/14+2×0+4×0=3/14, E(X2)= 02×（3/28+9/28+3/28）+12×(3/14+3/14+0)+ 22×(1/28+0+0)=4/7, E(Y2)= 02×（3/28+3/14+1/28）+12×(9/28+3/14+0)+ 22×(3/28+0+0)=27/28, D(X)= E(X2) -［E(X)］2 = 4/7-(1/2)2= 9/28, D(Y)= E(Y2)- ［E(Y)］2=27/28-(3/4)2= 45/112,
Cov(X，Y)= E(XY)- E(X) E(Y) =3/14- (1/2) ×(3/4)= -9/56, ?XY = Cov(X，Y) /(D(X)D(Y))=-9/56 ? (9/2845/112)= -5/5
20. 在题14中求Cov(X，Y)，?XY，D(X + Y)．
222,Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?? ,E(XY)?7551511?x12E(X)???24x3ydydx??E(Y2)
005解：E(X)?E(Y)?D(X)?E(X2)?E(X)???2141???D(Y) 52525?XY?Cov(X,Y)2??3D(X)D(Y)275
D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)?21. 设二维随机变量(X, Y )的概率密度为
?1?,x2?y2?1,
f(x,y)????其它.?0试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的．
解：E(X)?11?x21??1?x2?1?1?xx/?dydx??2x1?x2/?dx?0 2?1E(Y)??1?1?1?x21?y/?dydx?0 xy/?dydx?0，
E(XY)???1?1?x2?1?x2所以Cov(X，Y)=0，?XY =0，即X和Y是不相关.
fX(x)???????21?x21?x2???，?1?x?1 f(x,y)dy????1?x21/?dy,?1?x?1????0，其他?0，其他??fY(y)?? 34
?????21?y2?1?y2??，?1?y?1 f(x,y)dx????1?y21/?dx,?1?y?1?????0，其他0，其他??当x2 + y≤1时，f ( x,y)≠fX ( x) f Y(y),所以X和Y不是相互独立的
2
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22. 设随机变量(X, Y )的概率密度为
?1/2,|y|?2x,0?x?1 f(x,y)??其它.?0y验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的．
解：由于f ( x,y)的非零区域为D: 0 < x < 1, | y |< 2x
y?2x12E(X)???xf(x,y)dxdy???xdydx??2x2dx?,
0?2x23D012x11E(Y)???yf(x,y)dxdy???ydydx?0,
0?2x2D12xOxy??2xY)=0，从而
E(XY)???xyf(x,y)dxdy??D1xydydx?0,所以Cov(X，
0??2x212x?xy?Cov(x,y)?0，因此X与Y不相关 .
D(x)D(y)?2x1???dy?2x,0?x?1
f(x,y)dy???2x2?0,其他?fX(x)????f1y?11dx??,?2?y?0y???2242???1y?1(y)??f(x,y)dx???y2dx??,0?y?2 Y??24?20,其他???所以，当0 .1. 某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的产量，他们估计出售一件产品可获利m元，而积压一件产品导致n元的损失，再者，他们预测销售量Y（件）服从参数?的指数分布，问若要获利的数学期望 35