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最大，应该生产多少件产品？（设m,n,?均为已知）.
解：设生产x件产品时，获利Q为销售量Y的函数 y ?mY?n(x?Y),0?Y?x? 0< y mx,Y?x? y? x ? 1 ?e?,y?0,??0Y的边缘密度函数为f(y)???Y ?0,y?0? yy??x??11??? E(Q)??Q(Y).fY(Y)dy???my?n(x?y)?e.dy??mx.edy??0x?? yyy???xx????? ??(m?n)yde?nxde??0?0?xmxde yyyy?????x?xx ??(m?n)ye??e??m?n?dy??nxe??mxe???0?0x0?? ??xyxx ??????x????(m?n)xe??m?n??e0?nxe?nx?mxe x? ???(m?n)?e??m?n??nx xx???dE(Q)1? 令??(m?n)?e?????n?(m?n)e??n?0dx??? x?nn ?则e?,?x???lnm?nm?n x d2E(Q)m?n??又??e?0 dx? n?当x???ln时，E(Q)取最大值m?n2. 设卖报人每日的潜在卖报数为X服从参数为?的泊松分布，如果每日卖出一份报可获报酬m元，卖不掉而退回则每日赔偿n元，若每日卖报人买进r份报，求其期望所得及最佳卖报数。 解： 设真正卖报数为Y ,则 ?k????e,k?r，Y的分布为P?Y?k???k! ??k??????k!e,k?r?k?r?XY???rX?rX?r设卖报所得为Z ,则Z 与Y 的关系为 ?my?n?r?y?Z?g?Y????mrY?rY?r ?r?1k?????k???E?g?Y??????e??km??r?k?n?????e?mr?k?0k!??i?rk!??????k?m?n???ek!r?1k?0r?2kk???nr??ek!r?1k?0r?1kk???mr??ek!r?1k?0k????k??? ?mr???e??k?0k!?????m?n????ek!k?0???nr??ek!k?0???mr 36 37 当给定m,n,λ之后，求r，使得E(g(Y))达到最大. 用软件计算??100,m?10,n?0时 E?g?Y???100,此时r?150(B)组题 1. 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求： (1) 乙箱中次品件数X的数学期望； (2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率． 解：(1) X的可能取值为0，1，2，3，X的概率分布律为 3?kC3kC3 P{X?k}?， k=0,1,2,3. 3C6即 X 0 1 2 3 pi 因此 E(X)?0?1991 2020202019913?1??2??3??. 202020202(2) 设A表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于{X?0}，{X?1}，{X?2}，{X?3}构成完备事件组，因此根据全概率公式，有 P(A)?3?P{X?k}P{AX?k} k?03k13 =?P{X?k}???kP{X?k} 66k?0k?0 = 1131E(X)???. 66240?x??，对X独立重复观察4次，用Y表示观察值大 其他x?1?cos,2. 随机变量X的概率密度为f(x)??22?0,?于 ?的次数，求Y 2的数学期望 3解：依题意，Y~B(4, p), ????1xx1p=P{X >}=?f(x)dx??cosdx?sin? ?/3?/32322?/32所以E(Y)= 4p =2，D(Y)= 4p(1-p)=1， E(Y2) = D(Y)+[E(Y)]2=1+4=5 3. 设随机变量U在区间(-2，2)上服从均匀分布，随机变量 ??1,若U??1??1,若U?1X??;Y??. 若U??1若U?1?1,?1,试求：(1)X和Y的联合分布律；(2)D(X?Y)． 37 38 ?1,?2?u?2 解：(1) fU(u)???4?其他?0,P{X =-1, Y =-1}= P{U ≤-1且U ≤1}= P{U ≤-1}=?P{X =-1, Y =1}= P{U ≤-1且U >1}= 0， P{X =1, Y =-1}= P{-1 -1且U >1}= P{U > 1}=?所以X和Y的联合分布律为 X -1 Y -1 1 1/4 0 1 1/2 1/4 X pi Y pi 2111du?， 44(2) X和Y的边缘分布律分别为 – 1 1/4 – 1 3/4 1 3/4 1 1/4 所以E(X)= -1/4+3/4=1/2，E(Y)= -3/4+1/4=-1/2，E(XY)= 1/4-1/2+1/4=0， E(X2)= 1/4+3/4=1，E(Y2)=1，D(X)=1-1/4=3/4，D(Y)=1-1/4=3/4， Cov(X，Y)=1/4，D(X+Y)= D(X)+ D(Y)+2 Cov(X，Y)=3/4+3/4+2/4=2 4. 设随机变量X的期望E(X)与方差D(X)存在，且有E(X)?a,D(X)?b(b?0)，Y?X?ab，证明 E(Y)?0,D(Y)?1． 证明：首先证明E（Y）存在 (1) 若随机变量X为离散型随机变量，分布律为：P{X?xi}?pi,i,?1,2,? 则由E(X)存在知，E(X)??xipi绝对收敛，且E(X)?a, i?1?记Y?X?a?xi?a?1?g(X),则?g(xi)pi????p?i??bb?bi?1i?1????xipi?i?1?ab绝对收敛， ?X?a??X?a?D(X)所以E（Y）存在，E(Y)?E?,D(Y)?D???0??????b?1 ?b??b?(2) 若X为连续型随机变量，其概率密度为f(x),则： 38 39 由E?X?存在知则?????????xf?x?d?x?绝对收敛。??X?a1???????f?x?d?x??xfxdx?af?x?d?x???????????bb?1????xf?x?d?x??a???????b???因为?xf?x?d?x?绝对收敛，所以??1???xf?x?d?x??a?绝对收敛???????b ?X?a?11???E?X??a??0即E?Y?存在，且E?Y??E??EX?a????bbb???X?a?11??D?Y??D??DX?a?D?X??1???bb?b?5. 设离散型随机变量X的分布律为P{X?xk}?pk,(k?1,2,?)，且E(X)，E(X 2)，D(X)都存在，试证明：函数f(x)??(xk?x)2pk在x?E(X)时取得最小值，且最小值为D(X)． k?1?df(x)证明：令??2?(xk?x)pk?0， dxk?1?则??xkpk??xpk?0， k?1k?1????xkpk?x?pk??E(X)?x?0，所以，x?E(X) k?1k?1?d2f(x)又，所以时，x?E(X)?1?0f(x)??(xk?x)2pk取得最小值，此时 2dxk?1??f(E(X))??(xk?E(X))2pk?D(X) k?1? 6. 随机变量X与Y独立同分布，且X的分布律为 X pi 记U?max(X,Y),V?min(X,Y)， (1) 求(U，V)的分布律； (2) 求U与V的协方差Cov(U，V). 解：(1) (X ,Y)的分布律 Y 1 X 1 2 (X ,Y) pij U V 4/9 2/9 2 2/9 1/9 （1，1） 4/9 1 1 （1，2） 2/9 2 1 （2，1） 2/9 2 1 （2，2） 1/9 2 2 39 1 2/3 2 1/3 40 V 1 U 1 2 4/9 4/9 2 0 1/9 (2) E(U)= 4/9+2×5/9=14/9， E(V)= (4/9+2/9+2/9)+ 2×1/9=10/9， E(UV)= 4/9+2×4/9+4×1/9=16/9, Cov(U，V)=16/9-140/81=4/81 7. 随机变量X的概率密度为 ?1/2,?1?x?0?fX(x)??1/4,0?x?2 ?0,其它?令Y?X2,F(x,y)为二维随机变量（X，Y）的分布函数，求Cov(X，Y)． 解： E(X)??????xfｘ(x)dx??1/2xdx??1/4xdx?1/4?102??2022???1002E(Y)?E(X)??xfｘ(x)dx??x/2dx??x2/4dx?5/6E(XY)?E(X)??3????xfｘ(x)dx??x/2dx??x3/4dx?7/8?103032 则：Cov(X,Y)?E(X3)?E(X)E(X2)?7/8?(1/4)?(5/6)?2/38. 对于任意二事件A和B，0 < P(A) < 1，0 < P(B) < 1，??P(AB)?P(A)?P(B) P(A)P(B)P(A)P(B)称作事件A和B的相关系数． (1) 证明事件A和B独立的充分必要条件是其相关系数等于零． (2) 利用随机变量相关系数的基本性质，证明??1． 证明: (1) ?0?P?A??1 0?P?B??1 ?P(A)P(B)P(A)P(B)?0 , ??0?P?AB??P?A?P?B??0?P?AB??P?A?P?B? 即??0是事件A和B独立的充分必要条件 (2) 考虑随机变量X和Y １，A出现１，B出现?? X＝Y＝??０， A不出现０， B不出现?? 40