矩阵在线性方程组中的应用
摘 要
矩阵和线性方程组都是高等数学的重要教学内容。在高等数学教学中利用矩阵解线性方程组的方法基本上是所知的固定几种：利用矩阵初等变换、克拉默法则、高斯—若尔当消去法。但是解一个线性方程组有时需要几种方法配合使用，有时则需要选择其中的最简单的方法。而对于一些特殊的线性方程组的解法很少有进行归类、讲解。我们希望可以通过对本课题的研究，总结和归纳用特殊矩阵解几类特殊线性方程组的解法。
关键词 矩阵；线性方程组；齐次线性方程组；非齐次线性方程组
MATRICES IN THE APPLICATIONS OF THE
SYSTEM OF LINEAR EQUATIONS
ABSTRACT
Matrices and system of linear equations are important content of advanced mathematics.
We often use several fixed methods to solve system of linear equations in advanced mathematics，such as Matrix transformations;Cramer's Ruleand Gauss-Jordan elimination method. But sometimes, we need to choose one of the most simple ways,or we need to use several methods to solve system of linear equations. For some special solution method of system of linear equations, there are few classification and explanation in detail. We hope that we can research, summarizes and induces solution method of some special system of linear equations with special matrices.
KEY WORDS matrices; system of linear equations; homogeneous system of linear equations; nonhomogeneoussystem of linear equations
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目 录
中文摘要 .................................................................... 5 英文摘要 .................................................................... 6 目 录 ...................................................................... 7 引 言 ...................................................................... 1 1.矩阵和线性方程组的概述 .................................................... 1
1.1矩阵的概念 ........................................................... 1 1.2线性方程组的概念 ..................................................... 2 1.3线性方程组解的情况 ................................................... 3 2.矩阵在线性方程组中的应用 .................................................. 3
2.1克拉默法则 ........................................................... 3 2.2高斯消元法 ........................................................... 5 2.3非齐次线性方程组新解法的解题步骤 ..................................... 6 2.4直接通过矩阵变换及运算求出方程组的解法 ............................... 7 2.5利用追赶法解线性方程组 ............................................... 9
2.5.1LU分解 ......................................................... 9 2.5.2追赶法 ........................................................ 10 2.6利用分块矩阵求解非齐次线性方程组 .................................... 12 2.7用加边矩阵求解非齐次线性方程组 ...................................... 14 3．结 论 .................................................................. 17 参考文献 ................................................................... 17 致 谢 ..................................................... 错误！未定义书签。
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引 言
矩阵的概念最早在19世纪由英国数学家凯利提出。在数学史上，研究过矩阵论的著名数学家有许多。在文献[1]中介绍了英国数学家西尔维斯特于1852年对矩阵的合同发现著名的“惯性定理”。在文献[2]中英国数学家凯莱发表了重要文章《矩阵论的研究报告》，对矩阵的基本理论进行了系统的阐述。当然还有许多数学家对矩阵的发展做出了伟大的贡献。
随着时代的不断发展，矩阵已经在各个领域得到了广泛的运用，是一种非常常用的用具。在数学领域中作为解决线性方程的工具之一，前人对此已经做了大量的的研究。1693年，微积分的发现者之一德国数学家莱布尼茨建立了行列式论。1750年，瑞士数学家克莱姆其后又定下了克拉默法则（又称克莱姆法则）。1800年，高斯和威廉·若尔当建立了人们熟知的高斯—若尔当消去法。
线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组。在文献[3]中了解到线性方程组在线性代数的教学中非常重要，行列式、矩阵、向量组的线性相关性、线性空间的基变换、坐标变换等，都和线性方程组有着非常密切的联系。
矩阵和线性方程组都是高等数学的重要教学内容，矩阵和线性方程组是相辅相成的，在高等数学教学中利用矩阵解线性方程组的方法基本上是所知的固定几种。对于一些线性方程组的特殊解法很少有进行归类、讲解。本文主要研究用特殊矩阵解一些线性方程组的方法，通过认真阅读本课题相关文献，如陈祥云的《矩阵的初等变换及其应用》，辛奎东的《关于线性方程组新解法的探索》，刘红旭的《利用分块矩阵求解非齐次线性方程组》，杨可的《用加边矩阵求解非齐次线性方程组的尝试》等等，分析、总结和归纳用特殊矩阵解线性方程组的解法。
1.矩阵和线性方程组的概述
1.1矩阵的概念
?a11???a1n???nm（1?i?m,1?j?n)由mn个数a，排成个横行个竖列的数表?????????ij??，称为?a??m1???amn?
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m行n列矩阵或m?n级矩阵，简称矩阵。数aij位矩阵的元素，矩阵常简单记为A或B或
C，???，或简记为Amn，Am?n等。
1.2线性方程组的概念
线性方程组的一般形式如下：
?a11x1?a12x2?????a1nxn?b1?ax?ax?????ax?b?2nn2 ?211222 （1-1）
???????????????am1x1?am2x2?????amnxn?bm其中x1,x2,???xn表示n个未知量，m是方程组的个数，aij则表示方程组的系数，bi称为常数项。假如所有的常数项bi都等于0，即为
?a11x1?a12x2?????a1nxn?0?ax?ax?????ax?0?2112222nn ? （1-2）
???????????????am1x1?am2x2?????amnxn?0则方程组（1-2）称为齐次线性方程组。否则称为非其次线性方程组。
线性方程组（1-1）的解是数域K的一个有序数组
?c1,c2,???,cn?，
当未知量x1,x2,???xn分别用c1,c2,???,cn代入时，（1.1）中的每个方程都成立。
这里将方程组（1-1）记为矩阵形式
?a11?aA??21????am1a12a22?am2a1n??????，
???????amn?????b1??b?B??2?。
??????bm?在此处把A称为这个线性方程组的系数矩阵，假如再将常数项B添加进去，让它称为矩阵的最后一列：
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