?a11?a?21????am1a12a22?a1n?a2n???am2?amnb1?b2?? ???bm?称其为此线性方程组的增广矩阵，记为A。
1.3线性方程组解的情况
在求解线性方程组时，首先需要讨论线性方程组解的情况。它可能无解，可能存在唯一解或者可能存在无穷多组解。在这里，我们讨论线性方程组解的情况，以及它的通解表示形式。
对于一般情况下的线性方程组（1-1），将它的增广矩阵A化为行阶梯矩阵。这个阶梯形矩阵在适当调动前n列的顺序之后可能有两种情形：
?c11c12?0c22??????00?00??00??????00?c1r?c2r??crr?0?0??0?c1n?c2n??crn?0?0??0d1??c11c12?0cd2?22?????????dr?00或者 ??00dr?1???0??00???????0????00?c1r?c2r??crr?0?0??0?c1n?c2n??crn?0?0??0d1?d2?????dr? 0??0????0??其中cii?0,i?1,2,?r,dr?1?0。在前一种情况我们判定为原来方程组无解，而在后一种情形方程组有解。
我们对后面一种情况进行讨论：
a：若r?n，则原方程组(1-1)有唯一解。
b：若且r?n，则原方程组(1-1)有无穷多组解。这无穷多组解可以用一般解来表示，其中自由变量有n?r个，主变量有r个。
2.矩阵在线性方程组中的应用
2.1克拉默法则
在这里简单介绍了利用克拉默法则解线性方程组。
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克拉默法则：如果含有n个方程的n元线性方程组
?a11x1?a12x2?????a1nxn?b1?ax?ax?????ax?b?2112222nn2 ? (2-1)
???????????????an1x1?an2x2?????annxn?bn的系数矩阵的行列式
a11a21?an1a12???a1na22?a2n??an2?anndetA??0
则方程组（2-2）有唯一解，并且
xi?detBjdetA,j?1,2,???,n
其中detBj是将系数行列式detA的第j列元a1j,a2j,?,anj，换成常数项b1,b2,?,bn后的行列式。
下面运用克拉默法则解一个简单的线性方程组。 例2.1.1 解线性方程组
?2x1?x2?5x3?x4?8,?x?3x?6x?9,?124? ?2x2?x3?2x4??5,??x1?4x2?7x3?6x4?0.
21?511?30?6解： detA?=27?0
02?1214?76而
detB1?89?501?51?30?624?1?726?81,
detB2?211890?510?626?70?5?1??108,
detB3?211?3012489?501?626??27 detB4?21?51?30012489?1?5?70?27.
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所以?x1,x2,?,xn?TdetB3?T?detB1detB2??,,?,?3,?4,?1,1。即原方程组的解为???detAdetAdetA??T?3,?4,?1,1?T。
例2.2.2 当下述方程组有非零解时，a取何值时：
??a?2?x1?2x2?2x3?0,? ?2x1??a?1?x2?4x3?0,
???2x1?4x2??a?1?x3?0.解：该齐次方程组有非零解，当且仅当其系数矩阵的行列式
a?22?2 detA?2?2a?1?4?0, ?4a?1a?2所以detA?2?2a?24a?1?4?(a?3)?(a?3)2(a?6).
2a?5?4a?12?2由上可知，当齐次方程组有非零解时，a?3或a??6。
2.2高斯消元法
高斯消元法也是一种常用的解线性方程组的方法。 对于含有m个方程，n个未知量的n元线性方程组
?a11x1?a12x2?????a1nxn?b1?ax?ax?????ax?b?2112222nn2 ????????????????am1x1?am2x2?????amnxn?bm 首先用初等行变换先把上面方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵，然后写出该阶梯形矩阵所对应的方程组，逐步回代，即可以求出方程组的解。因为它们为同解方程组，所以也就得到了上面方程组的解。这种方法被称为高斯消元法。
?x1?x2?2x3?x4??1?x?5x?3x?2x?0?234例2.2.1 解方程组?1
3x?x?x?4x?24?123???2x1?2x2?x3?x4?1解：先写出增广矩阵?AB?，再化成阶梯形矩阵，即
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?11?2?1?1??11?2?1?1??1?????15?3?2004?1?11??????0?AB?=??3?1142??0?4775??0??????221?1104?3?3?1?????0?1?0???0??01?2?1?1??4?1?11?
0666??0000?1?2?1?1??4?1?11?
0666??0?2?2?2?根据最后一个增广矩阵可以得出其表示的线性方程组为
?x1?x2?2x3?x4??1??4x2?x3?x4?1 ?6x3?6x4?6?1将最后一个方程乘，再将x4项移至等号的右端，得
6x3??x4?1
将其代入第二个方程，解得
x2?1 2再将x2，x3代入第一个方程组，解得
1x1??x4?
2因此，方程组的解为
1?x??x?4?12?1? x??22??x3??x4?1??其中x4可以任意取值。
2.3非齐次线性方程组新解法的解题步骤
在文献[7]中介绍了非齐次线性方程组新解法的解题步骤： （1）约化阶梯形矩阵。 （2）写出对应的方程组。
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（3）把上面每个方程中下标最小的变量用其他变量表示，其它缺失的变量相应的补齐。 （4）写出方程组解的向量形式。
?x1+x2?x3?x4?x5?7?3x?2x?x?x?3x??2?12345例2.4.1 解线性方程组?
x?2x?2x?6x?23345?2??5x1?4x2?3x3?3x4?x5?12解：（1）首先约化阶梯形矩阵
?1?3(A?b)???0??51121124?3117??10?1?1?5?16????1?3?2??0122623? ????2623001000???3?112??000000?然后对增广矩阵(A?b)进行初等变化，化为简化的阶梯型矩阵r?A??r?A?b??3?5,则原方程有无穷多个解。
（2）写出对应的方程组。
?x1?x2?x4?5x5??16? ?x2?2x3?2x4?6x5?23 ?x3?0? （3）把上述每个方程中下标最小的变量用其它变量表示，其它缺失的变量补齐。
?x1??16?x2?x4?5x5?x?23?2x?2x?6x2345?? ? x3?0?x4?x4?x5?x5?? （4）写出方程组的解。
??16??1??5???????23?2??????6? x??0??c1?0??c2?0?
??????01?????0??0??0??1???????
2.4直接通过矩阵变换及运算求出方程组的解法
下面介绍直接通过矩阵变换及运算求出方程组的解法。首先对增广矩阵进行初等变换、零拓展矩阵和转解运算，再直接求出齐次方程组的基础解系和非齐次方程组的特解，进而求出非齐次方程组的通解。
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