定义1[8] 对于矩阵Am,n增加q个n维行向量而生成的新矩阵称做Am,n的拓展矩阵；若增加行向量都是零向量，则生成的新矩阵称为Am,n的零拓展矩阵，若增加的行向量组成一个单位方阵则生成的新矩阵称为Am,n的单位拓展矩阵。
定义2[8] 在矩阵Am,n中，若j?i，有aij?0，则称Am,n为广义上三角矩阵。
定义3[8] 设Am,n是广义三角矩阵，在Am,n中，若akk=0，而ai0k?0，构造成一个新矩阵
Bm,n??bij?m,n，当i?i0，有bij?aij；当i=i0，令bi0k?0，bi0j?ai0j?aj0kakj?j?k?，则定义为
归零运算（或称转解运算），生成的矩阵Bm,m称为归零矩阵（或转解矩阵）。 定理1[8] 设实数域上非齐次线性方程组
Am,nXn,1?Bm,1，
R?A??RA=r?n，对?Am,n,Bm,1?进行零拓展，使其成为Cn,n?1，对Cn,n?1进行初等变换，
*cik?1,而j?k时cij?0,使其成为对角线上的元素cij只取1和0的广义上三角矩阵Cn,n?（若1**则进行行行交换使得cik?1所在的行变为Cn行）；令Pn，n?1?Cn,n?1??En,n,n?1中的第k??0n,1?，
则矩阵Pn,n?1中元素pii只取0或-1值；若当pkiki说对应的第ki列为零向量?i?1,2,???,r?，则所有pkjkj??1说对应的第ki列向量?j?1,2,???,n?r?就构成方程Am,nXn,1?0的基础解系，而第n?1列向量则是方程组Am,nXn,1?Bm,1的特解。
定理2[8] 对于方程组（2-1）说对应的增广矩阵进行拓展和初等变换，得到满足定理1
**,P?C的Cn,n?1n,n?1n,n?1??En,n0n,1?；当pii?0时，而pki?0时，做转解运算生成转解矩阵
***Pm,2,???,n?，则p*,m?1，使得当pii?0时，有pki?0?k?1jj??1所对应的列向量的全体即为
方程组Am,nXn,1?0的基础解系，Pn*,n?1矩阵中的第n?1列向量乃是Am,nXn,1?Bm,1的特解，
Pn,n?1经过若干次转解运算存在满足定理1条件的转解矩阵Pn*,n?1。
x1?2x3?2x4?6??2x?x?3x?x?0?1234例2.5.1 求解方程组?
3x?x?6x?18134???4x1?x2?9x3?13x4?36解：对增广矩阵进行变换
8
6??1?10226??1022?213?10??01?1?5?12??0????????30?1618??00?700??0??????4?191336??0?11512??0
0226?1?1?5?12?*?=C4,4?1
0?700??0000?*C4,4?1??E4,4?0?004,1????0??00226?0?1?5?12??=P4,4?1， 0?800??00?10?因此由定理1知方程组的解为X??x1,x2,x3,x4??k?2,?5,0,?1???6,?12,0,0?。
2.5利用追赶法解线性方程组
本小节的解法是先把线性方程组的系数矩阵A分解成为下三角阵和上三角阵的乘积，然后运用追赶法来求解线性方程组。为了把系数矩阵分解为一个下三角阵和一个上三角阵的乘积，则需要运用LU分解法（也称为三角形分解法）。 2.5.1LU分解[9]
令A的前n-1个顺序主子矩阵非奇异，那么就存在单位下三角阵L，以及上三角阵U，使得
并且这样的分解是唯一的。
令矩阵A有LU分解，即
?a11?a?21????an1a12a22?an2?a1n??1??u11u12?u1n??l???10?a2n?u?u21222n??????.
????????0?????????ann??ln1?ln,n?11??unn?A?LU,
将两端的第一行元素进行对比可以得出
u1k?a1k,k?1,2,?,n;
将两端的第一列元素进行对比可以得出
alk1?k1,k?2,3,?,n; u11将两端的第二行其余元素进行对比可以得出
9
u2k?a2k?l21u1k,k?2,3,?,n;
将两端的第二列其余元素进行对比可以得出
lk2??ak2?lk1u12?u22,k?2,3,?,n.
则对于一般的i?2,3,?,n用递推关系得出 i?1??uik?aik??lijuik,k?i,i?1,?,n,j?1? ? （2-2）
i?1?l??a?lu?u,k?i?1,i?2,?,n,?kikjji?ii?ki?j?1???
即可求出U和L，从而实现A的三角分解。这一过程就是矩阵A的LU分解。 2.5.2追赶法[9]
线性方程组的系数矩阵A，先通过公式(2-2)进行LU分解，接着利用追赶法解出该线性方程组，是一个非常方便快捷的方法。追过程和赶过程是追赶法的关键所在。
记
?e1f1??d2e2f2A=???????dn?a) LU分解
??r1?1???????l21???,L?,U????????fn?1????l1n???en???r1?e1
f1r2f2?????? ?fn?1?rn??
对i?2,?,n,计算
b) 追过程
对于i?2,?,n,计算
c) 赶过程
li?diri?1,ri?ei?li?fi?1
y1?b1
yi?bi?li?yi?1
xn?ynrn
10
对于i?n?1,?,1,计算
xi?(yi?fi?xi?1)ri
而对于线性方程组（1-1）中，可得该线性方程组的Jacobi迭代公式如下：
??x(m?1)1?1?b?m??m?1?a12x2???a1nxn?a?11?
??x(m?1)2?1a?b2?a21x?m?1?a23x?m?3???a?m?2nxn??22 ?????????????????????x(m?1)n?1a?b?m??m??n?an1x1?an2x2???am?n,n?1xn?1?nn简记成：
x(m?1)?1?i?1?mmm?ia?ba?i??ijxj??1j?aijx??j?,(i?1,2,?) ii?j?i?1?下面我们通过具体的例子来了解用追赶法解线性方程组的解题过程。 例2.5.1 用追赶法解线性方程组
??2x1?x2?3,
??x1?2x2?3x3??3,?3x2?7x3?4x 4??10,??2x3?5x4?2.??2100?解：系数矩阵A??12?30???03?74??,利用公式(2-3)对A进行LU分解， ?0025???0100??1?2100??10??2A??12?30??22?30????13?2?30???2?1232?03?74?1????23?74??22?74?????02?0025??0???0???0025????0025????00??1000??00?所以L??1100??2??21?03?30??0210?,U??2?0?14?. ???0?00?21?????00013?? 追过程：解Ly?B,即
11
00??30???14?.??213??
?1?1?2??0??0 赶过程：解Ux?y,即
0??y??3??y1??3?1?9???????100???y2????3??y??y2????2?.
??y3???1?210??y3???10?????????y?y4??0?21???4??2??0??0000??x??3??21?x1??2?1???????x???1??032?30??x2???92??2????. ??x????x????x3??1?300?14?1??????????x?????x4??0?013??4??0??00即得线性方程组的解。
2.6利用分块矩阵求解非齐次线性方程组
通过文献[10]可以得知，假如A是一个n阶非奇异阵A??aij?,i,j?1,2,?,n，把A进
?A行分块A??11?A21A12?其中A11，A12,A21,A22分别是k?k,k?m,m?k和m?m矩阵。如果A22是?，A22??1??A12A22?G?，令MA??Im??A21?IkM?非奇异方阵，则一定可以找到一个上三角分块??0?1中G?A11?A12A22A21，并且G是非奇异阵。
0??，其A22?根据上面的结论，得出用来求解n个方程的非其次线性方程组是比较方便的。可以依以下过程求解：
?a11x1?a12x2?????a1nxn?b1?ax?ax?????ax?b?2112222nn2对于非齐次线性方程组? （2-3）
???????????????an1x1?an2x2?????annxn?bn把（2-3）写成矩阵方程为AX?B
?x1??b1?????xb2?2???此处A为系数矩阵X?。假如A是非奇异阵，即A?0，那么方程组（2-3），B???????????x?n??bn?
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