有唯一解。
?A把阶阵A分块：A??11?A21A12??，并注意A22为非奇异阶阵，同时把X和B进行对应的A22??X??B?分块，可以使X??1?，B??1?，B1的行数等于A11,A12的行数，B2的行数等于A21,A22的
?X2??B2?行数。那么矩阵方程AX?B可以写成
?A11??A21A12??X1??B1????=?? A22??X2??B2??1??A12A22?，即可以得到Im??IkM?把上面式子的两边分别左乘上三角分块矩阵??0?G??A21?10??X1??B1?A12A22?（2-4） =? ????A22??X2??B2??1A21?G?0?。 其中 G?A11?A12A22?1?GX1?B1?A12A22把方程（2-4）分解成为下面两个矩阵方程? （2-5）
?A21X1?A22X2?B2根据初等变换的性质我们可以知道（2-4）和（2-5）是同解方程。
?1由于G?0，所以存在G?1，且X1?G?1B1?A12A22B2，再把X1代入A21X1?A22X2?B2中，
???X1?得到A22X2?B2?A21X1,X2?A?B2?A21X1?。据此，得出X???。
?X2??122?3x1?x2?x3?4x4?2x5?2??x?x?2x?2x?4x?012345??例 2.6.1 解非齐次线性方程组?2x1?3x2?2x3?x4?x5?6
?x?x?x?x?x?312345???x1?2x2?2x3?3x4?x5??5?A解：将方程写成矩阵方程并进行分块，有 ?11?A21A12??X1??B1??31?A?。这里=11???????，
A22??X2??B2???11??23???311??142??????A12???，A21??1?1?，A22??1?11?。 ??2?24??1?2??23?1????? 13
?1??7?3?1??先求出A22的逆矩阵A22?14?5???142711411141?7???12??72??1，计算?A12A22=?7???9??1??7?7??117?177?9?7??， 2??7??IkM?方程左乘??0??23???46?0000?7??x1??7???????x?40?115???1?1000??2????A12A22??x???7?， ?，得到?7???3???Im?23?3116x???4????1?11?11??x??3????5???1?223?1?5??????23???47?0?7??x1??7??x1??2?解矩阵方程???????，解得?????，
x?40?115???2????x2??5??1?????7??7??6??23???13??????2???B2?A21X1??3???1?1?????6?，
??5??1?2??5??3????????1??7?x3??3???1故?x4??A22?B2?A21X1????14?x???5?5???142711411141???7???13??4????2?????3?6= ?????7?2??3???1?1?????2?7??2??x1??5?????x?2??4?所以所求方程的解为?x3???3?。
??????x4??2??x??1??5????2?
2.7用加边矩阵求解非齐次线性方程组
在文献[11]中主要介绍利用加边矩阵的初等变换，把非其次线性方程组解的判定和解的结构融于一体，在方程组有解的基础上，直接找出唯一解或者导出基础解系和原方程的
14
一个特解。
m个方程n个未知数的非其次线性方程组的一般形式是：
?a11x1?a12x2?????a1nxn?b1?ax?ax?????ax?b?2112222nn2 （2-6） ????????????????an1x1?an2x2?????annxn?bn其中b1,b2,?,bm至少有一个不为0。 方程组（2-6）的向量形式为
x1a1?x2a2???xnan=? （2-7）
式子中a1,a2,?an,?是m维向量。（2-7）式子说明假如有一组n个数k1,k2,?kn满足
k1a1?k2a2???knan=?
那么n维向量?k1,k2,?kn?即为方程组（2-6）的一个解向量。令方程组（2-6）的系数矩阵为A，增广矩阵为A，作A的转置矩阵A，并将A的每行顺序记为a1,a2,?an,?，据此作出A的加边矩阵D：
?a11??a12??D???a1n????b?1a21?am1a22?am2??a2n?amn???b2?bma1??a2????? ?an???????????TTT矩阵D中a1a2?an?即为（2-7）中的a1a2?an?。对矩阵D用初等行变换求秩。这里对?所在的行进行初等变换时有如下限制： a:?所在的行不与其他行交换；
b:其余任意行不作加上或者减去?所在行的倍数的初等变换； c:?所在行可以作加上或者减去其余行的倍数的初等变换。
即在整个变换过程中，?所在的行一直保留在矩阵的最后一行。假设原方程（2-6）系数矩阵的秩r?0。对于D用初等变换求出秩，最后化出下列矩阵：
15
??c11???0?????0??i???0???0??????0??其中cii?ak?k?1?n?c22?cr2?cm2?sa?2kk?k?1??????????n??crr?cmr?srkak???k?1?n
???0??s(r?1)kak??k?1?n???0?smkak???k?1?????????n????0????sjaj??j?k??0?i?1,2,?,r?,0?r?n。c21?cr1?cm1??sn1k??c11c21???0c22??????0??ii????0????0????????0????cr1??cr2?????crr??????????cm1cm2?cmr00?Nr?1?Nm?sa?1kk?k?1?n??sa?2kk?k?1?????n?srkak???k?1?n??s(r?1)kak?
?k?1?n?smkak???k?1????n?????sjaj??j?k??n其中cii?0?i?1,2,?,r?,Nr?1?Nm至少有一个不为0。?i?说明r?A??r?A?=r，?ii?说明r?A??r,r?A??r?1，r?A??r?A?。根据线性方程组解的
判定定理，?i?中有解，?ii?中无解。我们可以根据?i?式最后一行，得到
???kjaj?0,即??k1a1?k2a2??knan
j?1n根据（2-7）得出x0??k1,k2,?kn?是方程组（2-6）的一个特解（或唯一解）。从最后一行
16
上面部分可以找出方程组（2-6）对应的齐次线性方程组的一个基础解系，在得出原方程组的一般解。
?x1?2x2?3x3?4x4?4,?x?x?x??3,?234例2.7.1 求方程组?的解。
x1?3x2?x4?1,????7x2?3x3?x4??3.解：写出矩阵D，并做初等变换：
1?20113010?731????a1a21001150?7??a1a2?2a13?1D??410?1?33?a3?3a1a3?
0151?a4?4a1a4????????????0?3?3?3???4a14?31?3??
10?00101520?7?4???a1a2?2a1a3?a1?a2a4?a2?2a1?0008??????0000?
??8a1?3a2?6a3根据上面可得方程组存在唯一解，由最后一行得??8a1?3a2?6a3=0，即
???8a1?3a2?6a，所以原方程的唯一解为??8,?3,?6,0?。 3
3．结 论
矩阵和线性方程组都是高等数学中的重要教学内容。而矩阵在线性方程组的求解中应用广泛。本文只是简单讨论、归纳了应用矩阵求解线性方程组解的几种方式，希望帮助大家今后在求解线性方程组时可以运用多种方法。
参考文献
[1] Sylvester J. J. ,The Collected Mathematical Papers(Vol. 1)[M]. Cambridge University Press, 1904.
17
145-378
[2] Cayley A. ,The Collected Mathematical Papers(Vol. 2)[M]. Cambridge University Press, 1889. 475-496 [3]李明远,马文斌,孙鹏哲,吴国荣. 线性代数教学实践中的体会[J].内蒙古财经学院报(综合版)，2009.7(2)：139-141
[4] 李树海. 线性方程组理论的一个应用[J].数学教学研究. 2012.31(10)： 61-62
[5] 陈祥云. 矩阵的初等变换及其应用[J].高等函授学报（自然科学版)，2012.25(2)：71-74 [6] 卢刚. 线性代数[M]. 第二版. 高等教育出版社, 2003: 64-68
[7] 辛奎东. 关于线性方程组新解法的探索[J].科教文化.2005.12(3)：222
[8] 陈建莉. 线性方程组解法新探[J].纺织高校基础科学学报，2008.21(2)：238-239 [9] 黄明游,刘播,徐涛. 数值计算方法[M]. 北京: 科学出版社, 2005.80-90 [10] 刘红旭. 利用分块矩阵求解非其次线性方程组[J].辽宁师专报，2003.5(2)：9
[11] 杨可. 用加边矩阵求解非齐次线性方程组的尝试[J].内蒙吉林学院学报（自然科版），1996.18(4): 65-68
18