d?dx22???0?0(1?xd)
其通解为
?(x)???06?0dx?3?02?0x2?C1x?C2
由?(0)?0 ? C2?0 而由?(d)?U0 ? C1?因此板间电位分布为
?(x)??U0d?2?0d3?0
?06?0dx?3?02?0x2?(U0d?2?0d3?0)x
板间电场强度为
??0?0U02?0d2?x E?????[x?x?(?)]e2?0d?0d3?0从该式可以求出电场强度为零的位置为
??4ac??0?0x??b?b2??0?220?4?02?0d(U0d?2?0d3?0)2a?0?0d2?0d3?0
??d?d1?2?0?0d(U0d?)由于我们是讨论极板内电场强度，因此零点位置为
x??d?d1?2?0?0d(U0d?2?0d3?0)
3.11、两块无限大导电平板间分别以两种不同的介质?1和?2。当两极板之间外加电压U0时，试求电容器中电位和电场的分布以及极板上的面电荷密度。
?1S?1?22dSd?22Sd
解：设介质1和介质2的电位分别为
?1?C1x?C2?2?D1x?D2
根据电位在介质界面的边界条件可得
??Cx?D
根据?x?0?0和?x?2d?U0，则
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???根据E????，可以得到
U02dx
?U0?x E??e2d对导体表面
?n?D?? e?n?E ?s?e??对x?0平板上e?n?e?x，则面电荷密度分别为
?sU0??? S?y?2S1?2d ??U0??? 0?y?S22d??U0??12d S?y?2S ??U0?? 0?y?S22d??n??e?x，则面电荷密度分别为 对x?0平板上e?s
3.12、试求真空中下列圆柱对称的体电荷所产生得电位和电场。
(1) ?(?)??0a/? ??a
(2) ?(?)??0 a???a (3) ?(?)??0?/a ??a 解：在圆柱坐标系下电位满足泊松方程
?1?????1?2??2?????? ??2?????????2??2??z由于电位和电场的对称性，即?与?和z无关，则
?2??????1?????????? ????????因此，可以利用直接积分法求解问题。
(1) ?(?)??0a/? ??a
????0a?0??C1ln??C2
?0，则
根据自然边界条件，?????有限，???0?0a????1???0 ????Cln??C12?2在??a上
??1??2????????? 12??????可得到关系式
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??????????0a?0?0a?0a?C1lna?C2?C11a
由此可见
C1??C2??0a2?0?0(lna?1)?0a2
3.13、如图所示，半径为a的无限长导体圆柱，单位长度的带电量为?l，其一半埋于介电常数为?的介质中，一半露于在空气中，试求各处的电位和电场强度。
解：根据题意，空间中电位分布与?和z无关，则可以利用直接积分法得到
?1?A1ln??A2 ?中?2?B1ln??B2 ?0中?l?0?a
根据不同介质分界面电位的连续性可知A1?B1和A2?B2，则
??A1ln??A2 若设无限长导体圆柱上电位为0，也即?(a)?0，则
??A1ln?a
由高斯定律，首先构成一个长度为l，半径为?的圆柱，则
?A1(?01???1?)???l??ll
因此
A1???l?(?0??)?l
因此电位为
???(?0??)lna?
根据电位与电场的关系可以求出
?E??????l?(?0??)??? e
3.14、对同轴电容器，其中部分填充了介质?，其余为空气。当外加电压U0时，求电容器中的电位和电场强度的分布以及单位长度的电容。
?0ab??
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解：根据题意，电容器中电位分布与?和z无关，则可以利用直接积分法得到
?1?A1ln??A2 ?中?2?B1ln??B2 ?0中
根据介质界面的边界条件可知A1?B1和A2?B2，则
??A1ln??A2
由???a?0和???b?U0可得到
?A?U0/ln(b/a)?A2??A1lna ??1?U?Alnb?AA??Ulna/ln(b/a)120?0?2因此电容器内电位分布为
??U0ln(?/a)ln(b/a)?E?? a???b
?利用E????可得到电场为
U0ln(b/a)?1利用?s??n?D可以计算出电容器内面电荷密度分布为 ?e??? e?s??0U0??ln(b/a)???U0???ln(b/a)1? ???b1? ???b
那么单位长度总电荷为
Q?(2???)?0U0ln(b/a)???U0U0111????[(2???)?0???] bln(b/a)bln(b/a)b11?[(2???)?0???]
ln(b/a)b因此电容为
C?QU0?
3.15、试求真空中下列球对称电荷分布所产生的电位和电场： (2) ?(r)??0 (a?r?b) (3) ?(r)??0a/r (r?a)
解：由电荷密度分布可知，电位分布也是对称的，因此可以利用直接积分法求出电位。 (2) 由于电荷密度分布区域是在a?r?b，那么利用直接积分法可以得到r?a、a?r?b和r?b区域内电位分布为
?1?A1r?A2?2???3??06?0r2?B1r?B2
C1r?C2利用?1(r?0)为有限的自然边界条件可以得到A1?0；利用?3(r??)?0可以得到C2?0。因此不同区域解的形式为
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?1?A2?2???3??06?0r2?B1r?B2
C1r由r?a的边界条件
?1r?a??2?r?ad?1drr?ad?2drr?a
和r?b的边界条件
?2r?b??3?r?bd?2drr?bd?3drr?b
可以得到联立方程求解出四个待定常数。
(3) 由于电荷密度分布区域是在r?a，利用直接积分法可以得到r?a和r?a区域的电位分布分别为
?1???2??02?0r?A1r?A2由自然边界条件可以确定A1?0和B2?B2r?0，则上式变成
B1
?1???2??02?0rr?A2B1
由于空间是真空条件，那么r?a的边界条件为
?1r?a??2?r?ad?1drr?ad?2drr?a
因此
B1?A2??02?0a2?0?0
a因此空间电位分布为
?1???02?0r??0?0a r?a?2??0a22?0r
r?a电场分别为
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