4.5、厚度为d的扇形弧片由两块大小相同但电导率不同的金属片构成。孤片的内外半径分别为R1和R2，当以AB和CD作为电极时，加上恒定的电压U0后，求弧片上的电位分布、分界面上的面电荷密度以及极板间的电阻；若以AD和BC作为电极，结果又如何？
??分量，??，J2?J2e??。解：弧片内电流只有e即J1?J1e根据电流密度的边界条件J1n?J2n????可以得到J1?J2，因此
?1E1??2E2
由
U0???ABCD???dl??E?e?0?/4E2?d????/4?/2E1?d????4(E1?E2)?
因此
?E1???E2??4?2U0?(?1??2)?4?1U0?(?1??2)??/4??e
??e金属片1中的电位分布为
?1?? ??ABP???dl??[E?e?0E2?d????/4E1?d?] ?4?2U0?(?1??2)??(?1??2)U0(?1??2)?4????2
金属片2中电位分布为
?2???ABP???dl??E?e?0?E2?d??4?1U0?(?1??2) ? 0????4
面电荷密度为
?s????0??2??0?4?0(?2??1)U0 ?J??0(E2?E1)??1??(?1??2)?b电流为
I??S??J?dS??a?(?1??2)?R?4?2?1U0d?d??4?2?1U0?(?1??2)1 R2R1lnR2R1
根据电阻的定义
?(?1??2)U?I4?2?1U0ln
当电极改置于内圆弧和外圆弧，则E1?E2，即?1??2，因此电位?仅为r的函数，即
1d?d??????0?dr?d?? ?(R1)?U0 ?(R2)?0因此电位分布为
?(r)?U0ln(R2/R1)ln(R2/?) R1???R2
21
J1??1E1???1J2??2E2????1U0d?(r)?d??ln(R2/R1)2y?2U0d?(r)?d??ln(R2/R1)?4
C?2因此，总电流为
I?D?S1J1dS??S2J2dS?J1?d?J2?4?d??(?1??2)U0d4ln(R2/R1)O?4?1?4因此阻抗为
R?4ln(R2/R1)ABdx?(?1??2)U0d
4.6、球形电容器的内球半径为a，外球壳的内半径为b。将两种不同的 导电煤质分别填入两个半球，两种导电煤质的 电导率分别为?1和?2。求该电容器的漏电阻。
解：设在r?a上电位为U，r?b上电位为零。根据题意，电位?仅为r的函数，因此定解问题为
d?2d???r??0 dr?r2dr??(a)?U ?(b)?01因此，通解为
???C?D r根据边界条件可以得到
C?abUa?b aUD?a?b因此
??abU?11???? b?a?rb?abU?1b?ar2abU?b?ar22在两种煤质中电流密度分别为
J1??1E1?
J2??2E2?因此总电流为
I??S1J1dS??S2J2dS?2?abU(?1??2) b?a因此
R?b?a1? 2?ab(?1??2)
4.12、无限长线电流I平行于半径为a、通有面电流I0的理想导体圆柱，离圆柱轴线为D。用镜像法求空间的磁场强度以及圆柱导体表面的面电流分布。 解：像电流的大小和位置分别为
I??Id??a2/D
4.14、已知某一电流分布的矢量磁位为
22
??xx2y?e?yy2x?e?z4xyz A?e求该电流分布及其对应的磁感应强度。
?解：首先判断矢量磁位A是否满足库仑规范，即
??A?Ay?Azx??A????0
?x?y?z?利用矢量磁位A满足的泊松方程来求出电流分布为
???2Ay?2Ax?2Az2???J???A??ex?ey?ez?x2?y2?z2 ?x2y?e?y2x ??e??由B???A可以求出磁感应强度为
???Ay???Az??Ay?Ax?Az?2??Ax???x?y??z?B???A?e??e???yx?e??y??x?z??x??y??z????x4xz?e?y4yz?e?z(y2?x2) ??e??? ?
3.14、同轴电容器填充介电常数分别为?1和?2的两种不同介质。当外加电压U0时，求电容器中的电位和电场强度的分布以及单位长度的电容。 解：
电位分布：?1??2????电位移矢量：D1?e???D2?eV0ln??R2?ln?R1R2?
?1(?1)??ln?R2R1?????ln?R2R1???2V0?1V0
?2(?2)电容：C??(?1?3?2)2ln(R2R1)
如果是填充了两种不同导电媒质的同轴电容器 电位分布：?1??2?V0ln(?R1)ln(R2R1)
???J电流密度矢量：1?e???J2?e??ln(R2R1)??1V0??ln(R2R1)??2V0漏电导：G?
?(?1?3?2)2ln(R2R1)
第5章 电磁波的辐射习题
场量的瞬时值与复数值的表示式
??~??A(r,t)?Re[A(r)ej?t]
23
麦克斯韦方程组的瞬时形式和复数形式
????D??H?J???t??B??E???t???B?0???D???????J???t???????H?J?j?D?????E??j?B?? ?B?0????D??????J??j??????j? ?t ? ? ???矢量磁位A
??B???A
洛仑兹条件或洛仑兹规范
?????A????
?t
?矢量磁位A和标量电位?瞬时和复数表示式
???|r?r?|?(r?,t?)vdV? ??|r?r?|标量电位：?(r,t)??14???V??????|r?r?|J(r?,t?)???vdV? 矢量磁位：A(r,t)???4?V?|r?r?|????jk|r?r?|????(r)e?(r)?1dV? 标量电位：???4??V?|r?r?|?????矢量磁位：A(r)?4??V??????J(r?)e?jk|r?r?|dV? ??|r?r?|
????坡印廷矢量S、复数坡印廷矢量S及坡印廷矢量的平均值Sav
???S?E?H
??1????S?E?H?
2???????1Sav?Re(S)?Re(E?H?)
2电磁场能量密度瞬时值
????|D|2112?1w?E?D??|E|电场储能密度：e 222?磁场储能密度：wm
????|B|21112?H?B??|H|? 222?24
????|J|2焦耳损耗密度：pc?J?E??|E|2?
?
习题解
5.4、已知空气填充的同轴线内外导体之间的磁场强度为
?18??H?ecos(10?t??z) A/m
??同轴线的内外导体半径分析为a?1 mm，b?4 mm。试确定?值，并求同轴线中的E及其内导体表面的总电流I?(设导体为理想的)
?解：将H写成复数形式为
?1?j?z??? H?ee????由复数形式的麦克斯韦方程组求出电场为 因此
??E?1j??1????H????????H?J?j??E
??1?H??Hz???1?Hz?H???????z ???e??e???e??j???????z??z??????? ??????ej????11j????H???z????e?z???H??z?j?z?1?(?H?)1?H???????????????????1?(?H?)?????????????
?? ??e?? ?e?e???????1?j?z1?j?z????n?H|??a?e???H|??a?e???e???zJs?ee?ee
?a?a内导体表面的电流密度为
总电流为
利用麦克斯韦方程组的方程
???j?z? I?2?a?|J|?2e??????E??j??H
由此可以求出磁场的表达式，然后再比较给出的磁场表达式和利用麦克斯韦方程求出的磁场就可以解出?。
?；(2) 求平均坡印廷矢量； 提出问题：(1) 求面电荷密度?
1、已知真空中某时谐电场瞬时值为
??ysin(10?x)cos(?t?kzz) E(x,z,t)?e 25