???0?(?,0)?0，?(?,l)?U0 ?(a,z)?02由分离变量法，并根据边界条件可得
????[AnJ0(kz?)?BnN0(kz?)][Cnshkzz?Dnchkzz]
n?1?由于??0，?为有限的，那么Bn?0，则上式变成
???[Cnshkzz?Dnchkzz]J0(kz?)
n?1?由低面的边界条件可得
???CnJ0(kz?)shkzz
n?1由侧面的边界条件，可得
J0(kza)?0 ? kza??0n ? kz??0na
式中?0n为零阶Bessel函数第n个零点值。因此
????n?1CnJ0(?0n?a)sh?0nza
利用顶面的边界条件可得
??n?1CnJ0(?0n?a)sh?0nla?U0
两边同乘J0(?0m?a?)?，并对(0,a)积分，那么
?n?1Cnsh?0nla?0aJ0(?0n?a)J0(?0m?a)?d???0aU0J0(?0m?a)?d?
式中
?0J0(
a?0n?a)J0(?0m?a?0 m?n?)?d???12
?a[J(?)] m?n00m??2
3.25、横截面为扇形空间，场沿轴线方向不变。已知????b??0??????0，???a??U0，
?U0，试求此扇形区域内的电位分布。
解：定解问题
?2??0????0??a??????0??b
?U0??U0 ?
由于问题解与z无关，则kz2?0，则
G(?)?C1sink???D1cosk??
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F(?)?A1?k??B1??k?
问题的通解为
?(?,?)?(A1?k??B1??k?)(C1sink???D1cosk??)
由???0?0，D1?0，则
?(?,?)?(A1?k??B1??k?)sink??
由?????0导出sink???0，因此k???n??n?，n?1,2,?。
?Bn??n??(?,?)??n?1(An???)sinn???
由???a??U0和 ???b?U0分别得到下列
?n??(Anan?1???Bna?Bnb?n??)sinn???n????U0n??(Anbn?1??n?
?U0?)sin?利用正弦函数的正交性可以得到系数An和Bn。
3.33、内半径为R的球壳内有一个点电荷q0，距球心为d，球壳的厚度为?R。试求下列情况下，空间各处的电位分布： (1) 球壳接地；
(2) 球壳接电位?0； (3) 球壳带电荷Q0。
解：(1) 接地情况的像电荷大小及位置分别为
q???Rq0/dd??R2?RRdq0q'
/d
第四章习题解
4.1、电导率为?的均匀、线性、各向同性的导体球，半径为R，其表面的电位为?0cos?，试计算表面上各点的电流密度。 解：在球坐标系下利用 及
?r???e??1??1???????e?e ?rr??rsin?????J??E?????
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由于表面电位为?0cos?，那么表面电场为
?Es????r?R???e?0Rsin?
于是表面各点电流密度为
??Js?e??0Rsin?
4.2、如图所示平板电容器。板间填充两种不同的导电煤质，其厚度分别为d1和d2。若在两的自由电荷和束缚电荷的面密度。
解：理想电容器?1??2?0，满足的定解问题为
?2??0?x?0??极板上加上恒定的电压V0，求板间的电位?、电场强度E、电流密度J及各分界面上
d1x?d1?d2d2?2?2?2?0 ???2?V0??1?xx?d1
?1?1x?d1x?d1 ?1??2??2?x0x?d1?1?1V0x由直接积分法可以得到电位的通解为
?1?Ax?B x?d1?2?Cx?D d1?x?d2
由?式为
x?0?0和?x?d1?d2?V0可以确定出B?0及D?V0?C(d1?d2)，则上式电位的表达
?1?Ax x?d1?2?Cx?V0?C(d1?d2) d1?x?d2
利用电位在介质分界面的边界条件，则确定出
A?C??2V0?2d1??1d2
?1V0?2d1??1d2因此电位分布为
?2V0????1?d??dx x?d1?2112 ??1V0(?2??1)d1V0???x? d1?x?d22??2d1??1d2?2d1??1d2??2???E??eV1x??1d2??2d10? ???1?E??e?xV02??d??d1221??1?2???D??eV1x??1d2??2d10? ???1?2?D??e?xV02??d??d1221?????D?ds?E?ds?1?2SQSSC???? ????V?d??d1221E?dlE?dl???C?C??只有理想电容器才能定义电容，非理想电容器的两个极板上的电荷量不相等，电容只能
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近似地按理想电容器定义。 ??根据静电比拟法
???E?0???D?0??D??E?E1t?E2tD1n?D2n???J??E?0??J?0? ??EE1t?E2tJ1n?J2n??E?E??D?J ??????于是对恒定电场
?2V0????1?d??dx x?d1?2112 ??1V0(?2??1)d1V0???x? d1?x?d22??d??d?d??d21122112??2???E??eV1x??1d2??2d10? ???1?E??e?xV02??d??d1221??1?2???D??eV1x??1d2??2d10? ???1?2?D??e?xV02??d??d1221?此时的电流称为电容器的漏电流，对应的电导称为电容器的漏电导G，有
????J?dS?E?ds?1?2SISSG??——S是极板的面积 ??????V?d??d1221E?dlE?dl???C?C静电比拟法——由于源外的恒定电场与无源区的静电场中的电位满足同样的拉普拉斯方程，
??当它们的边界条件也一致时，只要求出一种解，利用对偶性(J和D，?和?，G和C)就
可以得到另一种形式的解。即
??????? D?J C?G ??? E?E
4.3、对矩形导体的电导率为?，求导电片上的电位分布以及导电片中各处的电流密度。 解：根据题意，列入定解问题为
?2??0??x?0?0 ??0 x?a?U0sin?0?y2b
y?0???ny?b
?(x,y)?(A1?A2x)(B1?B2y)?(C1sh|ky|x?C2ch|ky|x)(D1sinkyy?D2coskyy)
由?y?0?0?B1?0和D2?0，则
?(x,y)?(A1?A2x)y?(C1sh|ky|x?C2ch|ky|x)sinkyy
由
???y?0?A1?0和A2?0及coskyb?0，因此ky?y?b(2n?1)?b,n?1,2,?。因此
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??(x,y)??n?1[Cnsh(2n?1)?xb?Dnch(2n?1)?xby]sin(2n?1)?yb
由?y?0?0?Dn?0，则
??(x,y)??n?1Cnsh(2n?1)?xbsin(2n?1)?yb
??0d??0dn由???y??U0sinx?a?y2b可以得到
sin(2n?1)?yb?U0sin??U0sin?y2b?n?1Cnsh(2n?1)?ab?y2b
??0x 利用比较系数法可以得到n?3/4，Cn?U0sh?a2b，因此，导电片上电位分布为
?x2b?(x,y)?U0sh?ashsin?y2b
2b???利用E????和J??E即可以计算出导电片上各处电流密度分布。
??z的恒定电流。今沿z轴方向4.4、在电导率为?的无限大导电煤质中流有电流密度J?J0e挖一半径为a的无线长圆柱，求空间各处的电位?、电场强度E和电流密度J。 解：在圆柱坐标系下，均匀电流密度J产生的电位为?电位?(?,?)的定解问题为
?2??0
????????J0??cos?，因此存在空腔的煤质中
?0 (1)
??a?????J0??cos? (2)
根据分离变量法可以得到问题的通解为
??(?,?)?A0?B0ln???[?n(Ansinn?n?1?Bncosn?)???n(Cnsinn??Dncosn?)]
根据条件(2)可设
?(?,?)?(A??B??1)cos? ??a
由条件(1)和(2)可以得到
A??J0?a2J0
B?a2A???)cos? ??a
因此
?(?,?)??J0?(??a2?电流密度为
??J??E?????
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