故数列?bn?的前n项和Sn?11． ?n3?2n?3?2【点评】有时候需要根据实际情况自己去拼凑。
题型四、错位相减法求和
例题4：已知数列1,3a,5a2,?,(2n?1)an?1(a?0)，求前n项和。 【解析】Sn?1?3a?5a2???(2n?1)an?1?1? aSn?a?3a2?5a3???(2n?1)an?2?
?1???2?:(1?a)Sn?1?2a?2a2?2a3???2an?1?(2n?1)an
2a(1?an?1)1?a?(2n?1)an?(2n?1)an?1n当a?1 时,(1?a)Sn?1??(2n?1) Sn?22(1?a)(1?a)当a?1时,Sn?n2
【点评】1、已知数列各项是等差数列1，3，5，?2n-1与等比数列a,a,a,?,a减法求和。
2、运用等比数列前n项和公式时，要注意公比q?1或q?1讨论。
3、错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列?cn?的公比q；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n项和的公式求和.
变式5已知 an?n?2n?1，求数列｛an｝的前n项和Sn. 【解析】Sn02n?1对应项积，可用错位相
?1?20?2?21???(n?1)?2n?2?n?2n?1 ①
2Sn?1?21?2?22???(n?1)?2n?1?n?2n ②
②—①得
Sn?n?2n?1?20?21??2n?1?n?2n?2n?1
【点评】注意识别数列形式，运用相应的方法
题型五、倒序相加法求和
012n例题5：求证：Cn?3Cn?5Cn???(2n?1)Cn?(n?1)2n 012n【解析】令Sn?Cn?3Cn?5Cn???(2n?1)Cn(1)
mn?m (2) ?Cn?Cnnn?1210则Sn?(2n?1)Cn?(2n?1)Cn???5Cn?3Cn?Cn6/27
012n ?(1)?(2)有:2Sn?(2n?2)Cn?(2n?2)Cn?(2n?2)Cn???(2n?2)Cn012n?Sn?(n?1)[Cn?Cn?Cn???Cn]?(n?1)?2n 等式成立
【点评】解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和.
2x变式6：已知函数f?x??x 2?2（1）证明：f?x??f?1?x??1；
?1?（2）求f????10?【解析】：
?2?f??????10??8?f????10??9?f??的值. ?10??1?f????10??9??2?f???f????10??10??8??5?f?????f????10??10??8?f????10??2?f????10??9?f?? ?10??1?f?? ?10??5?f???1 ?10??1?令S?f????10??9?则S?f????10??2?f??????10??8?f??????10?两式相加得：
?2S?9????1?f????10?9?9??f????9 所以S?.
2?10??题型六、并项求和
例6：Sn＝1002－992＋982－972＋?＋22－12
【解析】Sn＝1002－992＋982－972＋?＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋?＋(2＋1)＝5 050.
【点评】一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
题型七、其它求和方法（归纳猜想法，奇偶法等供参考） 例7：已知数列?an?,an??2[n?(?1)n],求Sn。
【解析】：an??2n?2(?1)，若n?2m,则Sn?S2m??2(1?2?3???2m)?2n?(?1)k?12mk
Sn??2(1?2?3???2m)??(2m?1)2m??n(n?1)
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若n?2m?1,则Sn?S2m?1?S2m?a2m??(2m?1)2m?2[2m?(?1)2m]??(2m?1)2m?2(2m?1)
??4m2?2m?2??(n?1)2?(n?1)?2??n2?n?2
(n为正偶数)??n(n?1) ?Sn??2??n?n?2(n为正奇数)【点评】：an??2n?2(?1)n，通过分组，对n分奇偶讨论求和。 变式7：已知数列{an}的通项an???6n?5(n为奇数)?2n(n为偶数)，求其前n项和Sn．
【解析】：奇数项组成以a1?1为首项，公差为12的等差数列，
偶数项组成以a2?4为首项，公比为4的等比数列； 当n为奇数时，奇数项有
n?1n?1项，偶数项有项， 22n?1n?1(1?6n?5)4(1?42)(n?1)(3n?2)4(2n?1?1)2∴Sn?， ???21?423n当n为偶数时，奇数项和偶数项分别有项，
2nn(1?6n?5)4(1?42)n(3n?2)4(2n?1)2∴Sn?， ???21?423?(n?1)(3n?2)4(2n?1?1)???23所以，Sn??n?n(3n?2)?4(2?1)?23?(n为奇数)(n为偶数)
例8：借助导数求和
pn(x)?1?2x?3x2???nxn?1(x?1,n?N*) xn?nxn?1?x?xn?1?1?(n?1)2n'【解析】pn(x)?(x?x??x)?? ??21?x(1?x)??【点评】本题可以用错位相减法完成，用导数法求和也可以。
123n变式8：借助导数求和Cn ?2Cn?3Cn???nCn0122nn【解析】由二项式定理(1?x)n?Cn?Cnx?Cnx??Cnx。
'求导得n?1?x?n?11232nn?1?Cn?2Cnx?3Cnx???nCnx，令x?1
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123n得Cn?2Cn?3Cn???nCn?n?2n?1
【方法与技巧总结】
1 数列求和需注意方法的选取：关键是看数列的通项公式，根据通项选择适当的方法； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用；
【巩固练习】
1．求下列数列的前n项和Sn：
（1）5，55，555，5555，?，5n9(10?1)，?； （2）11?3,12?4,13?5,?,1n(n?2),?；
（3）a1n?n?n?1；
（4）a,2a2,3a3,?,nan,?；
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（5）1?3,2?4,3?5,?,n(n?2),?；
2?2?2?2?（6）sin1?sin2?sin3????sin89．
111?1??11???1＋＋＋?＋1＋1＋＋（7）1，?，?，?，? 242?24?2n－1???????
2、已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(4－an)qn1(q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.
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