41．若f?x??1f?x??x??f?x?lim，求。 2?x?0?xx12?x??x? 解：lim?x?0?1x2?x
x2?x2?2x??x??2x ?lim
?x?0?x?2x??x?2 ?lim2 ?3?x?0x?x??x?2x11?142．利用极限存在准则证明：limn?2?2???2n??n?n??n??n?2????1。 ?n211?n2?1证：∵2 ?n?2?2???2??2n?n?n?n??n???n??n??n2n2且lim2?1，lim2?1，由夹逼定理知 n??n?n?n??n??11?1?limn?2?2???2??1 n??n?n???n??n?2?43．求下列函数的间断点，并判别间断点的类型 (1)y?x?1?x?2，(2)y?x1?x，(3)y?，(4)y??x? 22?xx解：(1)当x??1为第二类间断点；(2)x??2均为第二类间断点； (3)x?0，为第一类断点；(4)x?0,?1,?2,?，均为第一类间断点。
?x,0?x?1?1?44．设f?x???,x?1，问：
?2??1,1?x?2 (1) limf?x?存在吗？
x?1f?x??1，故limf?x??1。 f?x??1，lim解：limf?x?存在，事实上lim?1?x?1x?1x?1x?1 (2) f?x?在x?1处连续吗？若不连续，说明是哪类间断？若可去，则
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补充定义，使其在该点连续。
?x,0?x?1?解：不连续，x?1为可去间断点，定义：f*?x???1,x?1，则f?1,1?x?2?*?x?在x?1处连续。
?x2?1,0?x?145．设f?x???，
?x?3,x?1 (1)求出f?x?的定义域并作出图形。 解：定义域为?0,???
y x 0 1 1
，1，2时，f?x?连续吗？ 21 解：x?，x?2时，f?x?连续，而x?1时，f?x?不连续。
2(2)当x?
(3)写出f?x?的连续区间。
解：f?x?的连续区间?0,1?、?1,???。
? 2, x?0,x??2?46．设f?x???4?x2, 0?x?2，求出f?x?的间断点，并指出是哪一
? x?2? 4, 类间断点，若可去，则补充定义，使其在该点连续。
解：(1)由limf?x??4，f?0??2，故x?0为可去间断点，改变f?x?在x?0x?0的定义为f?0??4，即可使f?x?在x?0连续。
f?x??4，limf?x??0，故x?2为第一类间断点。 (2)由lim??x?2x?2(3)类似地易得x??2为第一类间断点。
47．根据连续函数的性质，验证方程x5?3x?1至少有一个根介于1和2之间。
验证：设f?x??x5?3x?1，易知f?x?在?1,2?上连续，且f?1???3?0，
f?2??25?6?1?25?0，故????1,2?，使f????0。
48．验证方程x?2x?1至少有一个小于1的根。
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验证：设f?x??x2x?1，易知f?x?在?0,1?上连续，且f?0???1?0，
f?1??1?0，故????1,2?，使f????0。
(二)
1．在函数f?x?的可去间断点x0处，下面结论正确的是( C ) A．函数f?x?在x0左、右极限至少有一个不存在 B．函数f?x?在x0左、右极限存在，但不相等 C．函数f?x?在x0左、右极限存在相等 D．函数f?x?在x0左、右极限都不存在
?1?32．设函数f?x???xsinx,??0,x?0，则点0是函数f?x?的( D )
x?0 A．第一类不连续点 B．第二类不连续点 C．可去不连续点 D．连续点 3．若limf?x??0，则( C )
x?0 A．当g?x?为任意函数时，有limf?x?g?x??0成立
x?x0 B．仅当limg?x??0时，才有limf?x?g?x??0成立
x?x0x?x0 C．当g?x?为有界时，能使limf?x?g?x??0成立
x?x0 D．仅当g?x?为常数时，才能使limf?x?g?x??0成立
x?x04．设limf?x?及limg?x?都不存在，则( D )
x?x0x?x0 A．lim?f?x??g?x??及lim?f?x??g?x??一定不存在
x?x0x?x0 B．lim?f?x??g?x??及lim?f?x??g?x??一定都存在
x?x0x?x0 C．lim?f?x??g?x??及lim?f?x??g?x??中恰有一个存在，而另一个不存在
x?x0x?x0 D．lim?f?x??g?x??及lim?f?x??g?x??有可能存在
x?x0x?x0 8
x2sin5．limx?0sinx1x的值为( D )
A．1 B．? C．不存在 D．0 6．limx?1sin2?1?x??x?1??x?2?2?( A )
112 A． B．? C．0 D．
3337．按给定的x的变化趋势，下列函数为无穷小量的是( C )
?1? A．(x???) B．?1???1 (x??)
x??x4?x?1C．1?2?x (x?0) D．
x (x?0) sinxx2x8．当x?0时，下列与x同阶(不等价)的无穷小量是( B ) A．sinx?x B．ln?1?x? C．x2sinx D．ex?1
1?x2?1?9．设函数g?x??1?2x，f?g?x???，则f??为( B )
x2?2? A．30 B．15 C．3 D．1
10．设函数f?x??2?x2?4(0?x?2)的值域为E，g?x?为F，则有( D )
A．E?F B．E?F C．E?F D．E?F?? 11．在下列函数中，f?x?与g?x?表示同一函数的是( D )
x2 A．f?x??1，g?x???1?x? B．f?x??x，g?x??
x02的值域2x?2x?1C．f?x??x2，g?x??x D．f?x??3x3，g?x??x 12．与函数f?x??2x的图象完全相同的函数是( A )
A．lne2x B．sin?arcsin2x? C．eln2x D．arcsin?sin2x? 13．若x?1，下列各式正确的是( C ) A．
1?1 B．x2?1 C．x3?1 D．x?1 x9
14．若数列?xn?有极限a，则在a的?领域之外，数列中的点( B ) A．必不存在 B．至多只有限多个
C．必定有无穷多个 D．可以有有限个，也可以有无限多个 15．任意给定M?0，总存在X?0，当x??X时，f?x???M，则( A ) A．limf?x???? B．limf?x????
x???x??C．limf?x??? D．limf?x???
x???x???16．如果lim?f?x?与lim?f?x?存在，则( C )
x?x0x?x0 A．limf?x?存在且limf?x??f?x0?
x?x0x?x0 B．limf?x?存在，但不一定有limf?x??f?x0?
x?x0x?x0 C．limf?x?不一定存在
x?x0 D．limf?x?一定不存在
x?x017．无穷多个无穷小量之和，则( D ) A．必是无穷小量 B．必是无穷大量
C．必是有界量 D．是无穷小，或是无穷大，或有可能是有界量 18．y?arccoslnx2?1，则它的连续区间为( C )
?? A．x?1 B．x?2 C．?e?1,?2?19．设f?x??lim???2,e?1 D．?e?1,?2?????2,e?1
?3nx，则它的连续区间是( B )
n??1?nx1 A．???,??? B．x? (n为正整数)处
n1C．???,0???0,??? D．x?0及 x?处
n?ex,x?020．设f?x???要使f?x?在x?0处连续，则a?( B )
?a?x,x?0 A．2 B．1 C．0 D．-1
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