x?1sin,x?0?21．设f?x???x，若f?x?在???,???上是连续函数，则3?x?0?a,a?( C )
1 A．0 B．1 C． D．3
3?3x?1,x?1?x?1的( C ) 22．点x?1是函数f?x???1,?3?x,x?1? A．连续点 B．第一类非可去间断点 C．可去间断点 D．第二类间断点 23．方程x4?x?1?0至少有一根的区间是( D )
?1??1? A．?0,? B．?,1? C．?2,3? D．?1,2?
?2??2?24．下列各式中的极限存在的是( C )
2x2?5x1lim A．limsinx B．lime C．lim D．
x??x?02x?1x?0x??3x2?11x25．limx?0xsinx?( D )
A．1 B．0 C．-1 D．不存在
2n?1?126．lim?2?2???2??。
n??nnn?2?1?1?27．若f?x???x2?2?3，则f?x??x2?1。
x?x?28．函数y?lnx2?1的单调下降区间为???,0?。
a2n2?bn?5?2，则a? 0 ，b? 6 。 29．已知limn??3n?2???x?2?30．lim??x??x?1??ax?e2，则a? 2 。
1x31．函数f?x??e的不连续点是x?0，是第 二 类不连续点。
11
132．函数f?x??sin的不连续点是x?0，是第 二类 不连续点。
x33．当x?0时，31?x?1~1x1x。 31。 e34．已知f?x???1?x?，为使f?x?在x?0连续，则应补充定义f?0??xx35．若函数f?x??1与函数g?x??的图形完全相同，则x的取值范围是
?0,???。
36．设f?x??x?x3，若f?x??0，则x? 0或±1 ；若f?x??0，则x?
?0,1?????,?1?；若f?x??0；则x???1,0???1,???。
?2x,x?0?5x,x?037．设f?x???，g?x???，则f?g?x????x,x?0??3x,x?0?10x,x?0。 ???6x,x?038．设0?u?1，函数f?u?有意义，则函数f?lnx?的定义域?1,e?。 39．设数列xn???1?1。 2n?1的前n项和为Sn，那么lim1 ?S1?S2???Sn? ? x??n40．如果x?0时，要无穷小?1?cosx?与asin21xx等价，a应等于 2 。 241．要使lim?ax?b??0，则b应满足b?1。 ?42．limx????xx?02?1?x? 0 。
??1?x2,x??1?43．函数f?x???1?x，当A? 2 时，函数f?x?连续。
?A,x??1?x2?ax?b?2，则a? 2 ，b? -8 。 44．已知lim2x?2x?x?2??12?x45．f?x???e,x?0，limf?x?? 0 ；若f?x?无间断点，
x?0?a,x?0? 12
则a? 0 。
46．函数f?x??xsin47．lim1在点x?0处可可连续开拓，只须令f?0?? 0 。 x1?cosx1?。
x?0x2cosx2x348．limx? 0 。
x???e49．lim1?cos2x1?。
x?02x250．设G?x??lnx，证明：当x?0，y?0，下列等式成立：
(1)G?x??G?y??G?xy?
证：G?x??G?y??lnx?lny?ln?xy??G?xy?
?x?(2) G?x??G?y??G??y??
??证：G?x??G?y??lnx?lny?ln?x?x? ?G???y?y??1,x?1?51．设f?x???0,x?1，g?x??ex，求f?g?x??和g?f?x??。
???1,x?1?1,g?x??1?1,x?0?? 解：f?g?x????0,g?x??1??0,x?0，
???1,x?0???1,gx?1?? g?f?x???ef?x??e,????1,??1??e,x?1x?1 x?152．若??x??lg?y?z?1?x，证明：??y????z?????1?yz??。 1?x??1?y1?z1?y?z?yz?lg?lg 1?y1?z1?y?z?yz 解：??y????z??lg 13
y?z?y?z?1?y?z?yz1?yz??lg?lg ?? ?1?yz?y?z1?y?z?yz??1?1?yz1? 故结论成立。 53．根据数列极限的定义证明：
(1) lim3n?13?
x??2n?12证：???0，要使
3n?13555
?????，只要n?，取2n?122?2n?1?n?A??23n?133n?13?5??。 N???，则当n?N时，恒有???，即limx??2n?122n?12???(2) limn?1?n?0
n???????0，证：因
?n?1?2??1n?1?n，要使
?n?1?n??12n??，
只要n?1?2??2?1?，取N??，则当n?N时，恒有2???2???n?1?n??，即
limn?1?n?0。
n????(3) lim0?99?9?1 ???n??n个证：???0，因0?999?9?1??????n111??，0?999?9??，要使，只要?????nn1010n个即只要n?log?101??9??，即。取N??log10??，则当n?N时，恒有0?999????????n个lim0?99?9?1。 ???n??n个n2?n?1 (4)limn??n证：???0，因
1n2?nn2?n?n?1???，只要n?。取
?nnn2?n?n???? 14
?1?N???，当n?N时，恒有
???n2?nn2?n?1??，即lim?1。
n??nn 54．根据函数极限的定义证明
(1) limxsinx?01?0 x证：???0，因xsin11?x，要使xsin??，只要x??。???，则xx当x??时，恒有xsin11??，即limxsin?0。
x?0xx1?2x22? (2) limx??3x231?2x2211?2x221??????0，x?证：因，要使，要使，??22233x33x3x3?取z?11?2x221?2x22???，即lim?。 ，则当x?X时，恒有2x??3x233x33?(3) limarctgx?0
x??x?证：???0，因
arctgxx??，取z?，则当x?z时，?2，只要x?2?2?x恒有
arctgxarctgx?0。 ??，即limx??xxx?2?0 (4)lim?x?2证：???0，要使x?2??，只要0?x?2??2，取???2，则当
0?x?2??时，恒有x?2??，即limx?2?0。 ?x?255．求下列极限
x2?1(1) lim2
x?03x?x?2解：原式?1 2 15