xn?1(2) limm(n，m为正整数)，
x?1x?1xn?1?xn?2???x0n?解：原式?limm?1 m?20x?1xm?x???x(3) lim1?x1?xx???
1 解：原式?limx???x1x?1??1 ?1(4) limx???x?cosx x?7cosxx?1 解：原式?limx???71?x1?(5)
8119?4x?7??5x?8? lim100x???2x?3?481519x100 解：原式?lim100100?431519
x??2x3??1(6) lim? ?3?x?11?x1?x?? 解：原式?lim(7) lim?x?1??x?2???1
x?1?1?x??1?x?x2?1?cos2x
x?0xsinx2sin2x?2 解：原式?limx?0xsinx(8) limx?cosxx??2?2
????sin?x??2????1 解：原式?lim??x?x?22
16
arcsinx
x?0xt?1 解：令x?sint，原式limx?0sint(9) limsin2x?sin2a(10) lim
x?ax?a?0? 解：原式???lim2sinxcosx?limsin2x?sin2a
x?a?0?x?a(11) lim?1?2x?
x?01x 解：原式?e2
?1?x?(12) lim??
x?01?x?? 解：原式?(13) lim?1?tgx?x?01xlim?1?x?x?01x1xlim?1?x?x?0e?e2 ?1ecosx
sinx1? 解：原式?lim??1?tgx?tgx??x?0???e0?1
?1?(14) lim?1??(k为正整数)
x???x???1?x? 解：原式?lim??1????e?k
x?????x???56．当x?0时，求下列无穷小量关于x的阶 (1)x3?x6 解：3阶
(2)x23sinx 解：
7阶 3kkx(3)1?x?1?x 解：1阶 (4)tgx?sinx 解：3阶
57．试证方程x?asinx?b，其中a?0，b?0，至少有一个正根，并且不超过a?b。
17
证：令f?x??x?asinx?b，则f?0???b?0，
f?a?b??a?b?asin?a?b??b?0
且f?x??C?a,a?b?，故????0,a?b?，使f????0。
58．设f?x?在闭区间?0,2a?上连续，且f?0??f?2a?，则在?0,a?上至少存在一个x，使f?x??f?x?a?。
证：令??x??f?x??f?x?a?，于是??x?在?0,a?上连续，由于条件
??0??f?0??f?a??f?2a??f?a?(若??0??0，则显然结果成立，若??0??0)??a??f?a??f?2a??f?a??f?0?，显然??0???a??0，故????a,b?使
f?x??f?x?a?，综上，????0,a?使f?x??f?x?a?。
59．设f?x?在?a,b?上连续，且f?a??a，f?b??b，试证：在?a,b?内至少有一点?，使得：f?????。
证：令??x??f?x??x，于是??x?在?a,b?上连续，且??a??f?a??a?0，
??b??f?b??b?0，故????a,b?，使?????0，即f?????。
60．设数列xn有界，又limyn?0，证明limxnyn?0。
n??n??证：由假设不妨设xn?M，M为一正数，???0，由limyn?0，故自然
n??数，当x?N时，恒有yn??M，故恒有xnyn?M?M??，即limxnyn?0。
n??132333n361．设xn?4?4?4???4，求limxn。
n??nnnnn2?n?1?1解：原式?lim ?n??44n42?3x, ?1?x?1?x?1，求limf?x?及limf?x?。 62．设f?x???2, x?0x?1?3x2, 1?x?2?解：limf?x??lim3x?0
x?0x?0 18
x?1?0limf?x??lim3x2?3，limf?x??lim3x?3，故limf?x??3
x?1?0x?1?0x?1?0x?1ex?e?x63．求limx。
x???e?e?x1?e?2x?1 解：原式?limx???1?e?2x64．求lim2sinx?sin2x 3x?0x解：原式?lim2sinx?1?cosx??limx?0x?0x34sinxsin2x3xxsin22?lim2?1
2x?0x465．求下列极限
et?1(1) lim
t?2?te2?1解：原式?
2(2) limx??4sin2x
2cos???x?2sinxcosx?sinxcos???x?2?lim?? ?2cos???x?x?cos???x?24解：原式lim?x?4(3) limx?15x?4?x
x?1解：原式?limx?1?x?1??4?x?1?5x?4?x??2
(4) limsinx?sina
x?ax?ax?a解：原式?limcosx?cosa (5) limx????x2?x?x2?x
?解：原式?lim?2xx?x?x?xx???22??lim21?11?1?xxx????1
19
(6) lim?1?3tg2x?x?0cosx
12tgx3?解：原式?lim??1?3tg2x?x?0????3tg2cosx?e0?1
ex?1(7) lim
x?0x?0?解：原式???limex?1
?0?x?a?2x?3?(8) lim??x??2x?1??x?1
2x?12?2??解：原式?lim??1??x???2x?1???????2?x?1?2x?1?e
66．求limx。
x?0ln?1?x?1?0??1 解：原式???limx?010??1?x
(三)
1．若存在??0，对任意??0，适合不等式x?a??的一切x，有
f?x??L??，则( D )
A．f?x?在a不存在极限 B．f?x?在?a??,a???严格单调 C．f?x?在?a??,a???无界 D．对任意x??a??,a???，f?x??L 2．若存在??0，对任意??0，适合不等式x?a??的一切x，有
f?x??L??，则( C )
A．limf?x??L B．f?x?在R上无界
x?aC．f?x?在R上有界 D．f?x?在R上单调
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