3．函数f?x??limn??xn1?x??2x?n2n(x?0)，则此函数( A )
A． 没有间断点 B．有一个第一类间断点
C．有两个以上第一类间断点 D．有两个以上间断点，但类型不确定
kx?7的定义域为R，则k的取值范围是( A )
kx2?4kx?33333 A．0?k? B．k?0或k? C．0?k? D．k?
44444．若函数y?5．两个无穷小量?与?之积??仍是无穷小量，且与?或?相比( A ) A．是高阶无穷小 B．是同阶无穷小 C．可能是高阶，也可能是同阶无穷小 D．与阶数较高的那阶同阶 6．试决定当x?0时，下列哪一个无穷小是对于x的三阶无穷小( B ) A．3x2?x B．a?x3?a(a?0是常数)
x2 D．3tanx C．x3?0.00017．指出下列函数中当x?0?时( D )为无穷大 A．2?xsinx?1 B． C．e?x D．ex
1?secx1?1?x?1?x,?8．f?x???x?k,? A．0 B．2 C．9．使函数y?x?0x?0，如果f?x?在x?0处连续，那么k?( D )
1 D．1 2?x?1?x?1为无穷小量的x的变化趋势是( C ) 3x?1 A．x?0 B．x?1 C．x??1 D．x??? 10．设f?x??xy1，若f?x??f?y??f?z?，则z=。 xx?y??x,x?0?x,x?0?11．若??x???而f?x???2?x?，则??f?x????0,x?0。
??x,x?0?x,x?0? 21
1?ex,???x?0??12．若f?x???3x,0?x?1在x?1处连续，则a? 0 。
?e2ax?eax?1,1?x?????x3?ax2?x?413．设lim有有限极限值L，则a? 4 ，L? 10 。
x??1x?114．lim?x?ax?a?x?ax?ax??22(a?0) =
12a。
15．证明limsinx不存在。 设limsinx?A，但对??x??1?3??M，，???，k?0使2k???M，2k??422??3??11?????1但sin?2k????1，sin?2k??，而1，不能同时落在??1A?,A????2?2?44????内，故limsinx不存在。
x??16．求limn1?xn(0?x?1)。
n??1??解：原式?lim?1?xnn?n??x????xnn?1
17．求lim?3?9xx???1xx?。
解：lim?3?9xx???1xx?（??）
?limex???1ln3x?9xx???eln3x?9xx???xlim??????? ??? ?ex???lim3xln3?9xln93?9xx3xln3?9xln9?e3?9xx?ex???limln33x?9x?ln3?9x3?9xx???3
18．设g?x?在x?0处连续，且g?0??0，以及f?x??g?x?，试证：f?x?在x?0处连续。
证：???0，由于g?x?在x?0处连续，所以???0，当x??时，恒有由假设f?x??g?x?，g?0??0，易知f?x??0，故当x??g?x??g?0??g?x???，
时，恒有f?x??f?0???，即f?x?在x?0处连续。
22
19．利用极限存在准则证明：数列2，2?2，2?2?2，?的极限存在。
证：设x,2,?,xn?1?2?xn，n?1,2,?，
以下证明①?xn?有上界；②?xn?单增 ①（用归纳法证）
当n?1时，x1?2?2，假定n?k时，xk?2，则 当n?k?1时，xk?1?2?xn?2，所以xn?2(n?1,2,?) ②?xn?单调增加
事实上xn?1?xn?2?xn?xn?22?xn?xn2?xn?xn???xn?2??xn?1?2?xn?xn由于
xn?2，所以xn?1?xn?0，由①②，据极限存在准则Ⅱ知limxn存在。
n???1?c20．设f?x?适合af?x??bf???(a、b、c均为常数)且a?b，试证：
?x?xf??x???f?x?。
?1?c证：由于f?x?满足：af?x??bf???(a、b、c为常数)
?x?xc?1?故f??x?满足：af??x??bf?????
x?x???1??1??得：a?f?x??f??x???b?f?f?0，∵a?b。 ???????x??x?????21．设函数f在???,???内有定义，f?x??0，f?x?y??f?x??f?y?，试求
?。 f?1985??f?0?f?1985?，985解：由于f?0??f?0?1985且由假设f?0??0，故f?1??1。
22．设??x?、??x?、f?x?都为单调增加函数，且对一切实数x均有：
??x??f?x????x?，求证????x???f?f?x???????x??。
证：?x?R，有??x??f?x????x?，由于f?x?的单增性，可知f????f?x?，
23
∴????x???f???x??，∵f?x????x?，∴f???x???????x??，于是得
????x???f?f?x???????x??
2?当x?0时左右极限不存在。 x12??A，对??，???0，?k?0，使0?证：不妨设lim?sinx?02x23．证明f?x??sin2?2k???2??，
0?2?2k??3?2??，但
2?sin2?2k???2????s?i2kn????12??，
sin2?2k??3?2
3???sin?2k??2?2?11?????fx?sin，而1，-1不能同时落在内，故，??1A?,A????x22???2?，当x?0?时的极限不存x当x?0?时，极限不存在，同理可证：f?x??sin在。
1??1??1??24．设xn??1?2??1?2???1?2?，证明：当n??时xn的极限存在。
?2??3??n?111??????222??????解：limxn?lim?1?2??1?3???1?n?
n?xn?x???????2 ?limn?x2?132?1?n2?1 2222?3???n????? ?lim?2?1??3?1???n?1??2?1??3?1???n?1? n???n!?2 ?lim?n?1?!?n?1?!?limn?1?1
2n??n??2n22?n!?25．若f?x?在?a,b?上连续，a?x1?x2???xn?b，则在?x1,xn?上必有?，使f????f?x1??f?x2????f?xn?。
n证：令m?min?f?x1?,f?x2?,?,f?xn??，M?max?f?x1?,f?x2?,?,f?xn??，则
x1,x2,?,xn中至少有一个xi，使f?xi??m，至少有一个xj，使f?xj??M，显然
24
有
1nm?f?xi???f?xk??f?xj??M (Ⅰ)
nk?1当Ⅰ式中两个“?”中有一个取等号时，则对应的xi(或xj)即为?，当Ⅰ式中的两个“?”号都不能取符号时。由于f?x?闭区间xi,xj(或xj,xi)上连续，由介
1n值定理知至少存在一点???xi,xj?或?xj,xi?，使f?????f?xk?，以上两种情况
nk?1????下得到的?显然都在?x1,xn?上。
26．证明，若f?x?在???,???内连续，且limf?x?存在，则f?x?必在???,???x??内有界。
证：令limf?x??A，则对给定的一个??0，?X?0，只要x?X，就有
x??f?x??A??，即A???f?x???A??，又由f?x?在闭区间??X,X?上连续，根据有界性条件， ?M?0，使f?x??M，x???X,X?，取N?max?M,A??,A???，则f?x??N，x????,???。
27．limn??n?n??n?1????1992，求?、?的值。 n?n??lim??1?199，2所以由????1，且n????n解：由于lim?n???n??n?1????11?1。 ，知??1992199228．证明方程
a3a1a2在??1,?2?，??2,?3?内有唯一的根，???0，
x??1x??2x??3其中a1，a2，a3均为大于0的常数，且?1??2??3。
证：设F?x??a3a1a2，易知F?x??C???,?2?，??F?x??C??2,?3?，
x??1x??2x??3取?充分小，且??0，则易知F?x1????0，F??2????0；F??2????0，
F??3????0，由连续函数的零值定理知：F?x??0在??1,?2?与??2,?3?内分别有
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根，又由于F??x???1?x??1?2?122?x????x???3?12?0，故F?x?在??1,?2?与
??2,?3?内单调，所以在?a1,a2?，?a2,a3?内均只有唯一的根。
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