目录
一、本章难易及掌握要求??????????????1 二、基本内容???????????????????1 1、三种近似 ??????????????????1 2、周期场中的布洛赫定理 ????????????2
1）定理的两种描述 ????????????2 2）证明过程： ??????????????2 3） 波矢k的取值及其物理意义???????3 3、 近自由电子近似 ??????????????3
A、非简并情况下 ?????????????4 B、简并情况下 ??????????????5 C、能带的性质??????????????6 4、紧束缚近似?????????????????6 5、赝势????????????????????9 6、三种方法的比较???????????????10 7、布里渊区与能带 ???????????????11 8、能态密度及费米面??????????????11 三、常见习题??????????????????14 简答题部分??????????????????14 计算题部分???????????????????15
一、本章难易及掌握要求 要求重点掌握：
1）理解能带理论的基本假设和出发点； 2）布洛赫定理的描述及证明；
3）一维近自由电子近似的模型、求解及波函数讨论，明白
三维近自由电子近似的思想；
4）紧束缚近似模型及几个典型的结构的计算； 5）明白简约布里渊区的概念和能带的意义及应用； 6）会计算能态密度及明白费米面的概念。 本章难点：
1）对能带理论的思想理解，以及由它衍生出来的的模型的应用。比如将能带理论应用于区分绝缘体，导体，半导体；
2）对三种模型的证明推导。 了解内容：
1）能带的成因及对称性； 2）费米面的构造； 3）赝势方法； 4）旺尼尔函数概念； 5）波函数的对称性。
二、基本内容 1、三种近似
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在模型中它用到已经下假设：
1）绝热近似：由于电子质量远小于离子质量，电子的运动速度就比离子要大得多。故相对于电子，可认为离子不动，或者说电子的运动可随时调整来适合离子的运动。多体问题化为了多电子问题。
2）平均场近似：在上述多电子系统中，可把多电子中的每一个电子，看作是在离子场及其它电子产生的平均场中运动，这种考虑叫平均场近似。多电子问题化为单电子问题。
3）周期场近似：假定所有离子产生的势场和其它电子的平均势场是周期势场，其周期为晶格所具有的周期。单电子在周期性场中。 2、周期场中的布洛赫定理
1）定理的两种描述
当晶体势场具有晶格周期性时，电子波动方程的解具有以下性质：
?????????ik?Rn形式一：?(r?Rn)?e?(r)，亦称布洛赫定理，反映了相邻原包之间
的波函数相位差
????ik?r形式二：?(r)?eu(r)，亦称布洛赫函数，反映了周期场的波函数可
用受
?uk(r)调制的平面波表示.其中
?????u(r)?u(r?Rn)?，Rn取布拉
菲格子的所有格矢成立。
2）证明过程：
? a. 定义平移算符T，T(R?m???mmm)?T11(a1)T22(a2)T33(a3)
??b． 证明T与H的对易性。T?H?HT?
???c.代入周期边界条件，求出T在T与H共同本征态下的本征值
2
???。即?????????(r)??(r?N1a1)???(r)??(r?N2a2)???(r)??(r?N3a3)?1?e??ik?a1,?2?e??ik?a2,?3?e??ik?a3
?? d. 将?代入T的本征方程中，注意T定义，可得布洛赫定理。
????????m3m1m2ik?(m1a1?m2a2?m3a3)?(r?Rm)??1?2?3?(r)?e?(r)????ik?r?(r)?euk(r)！
3） 波矢k的取值及其物理意义
?NjNjl3?l1?l2?b2?b3??? k?b1??lj?N1N2N322，k是第一布里渊区的
波失，称简约波矢。其是平移算符本征值量子数，而
???????ik?RmT(Rm)?(r)??(r?Rm)?e?(r)反映了原胞之间电子波函数位相的变
化。同时也可以得出如果一个势场是周期场，那么可以把其波函数设为布洛赫函数。 3、 近自由电子近似
1）思想：假设将周期场的周期起伏看作自由电子稳定势场的微扰 2）条件要求：原子的动能大于势能以使电子可以自由运动，势函数的的起伏很小，以满足微扰论适用，外层电子以满足电子可以自由运动。
3）模型建立过程：
首先，在零级近似下，考虑到周期性边界条件得到了波矢的允许取值，推出了能量的准连续性；
其次，由于考虑到二级微扰，而推出能量在布区边界处分裂，且发生了能级间的“排斥作用”，于是形成能带和带隙。
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