A、非简并情况下
1)由假设1>,2>可得系统的哈密顿量和薛定谔方程：
H?H0?H'，H0???2d222mdx?V，
微扰项：
H'?V(x)?V??V，满足的方程式: H?Ek?Ek?Ek0(1)?E?.
2)利用微扰论方法有设：其中：
Ek?0?Ek(2)??.，
?k2mk22?V，Ek0(1)??k|H'|k??0，Ek(1)k(2)??k'?k'|H'|k?E0k2?E0k' （K'?K）
设：?(x)??k(x)??(x)??.
其中：
?k(x)?01Leikx, ?(1)k??k'?k'|H'|k?Ek?Ek'000?k' （K'?K）
4）结论：
能量本征值：Ek0??k2m22?V??'nVn?222m[k2?(k?na 2?)]na2波函数：?k(x)?1Leikx?1Leikx?nVn?22m[k2?(k?nae2?)]2i2?x
5）波函数的意义：
第一项是波矢为k的前进的平面波，第二项是平面波受到周期性势场作用产生的散射波 再令uk(x)?1??nVn?22m
[k2?(k?nae2?)]2i2?nax，则有?k(x)?1Leikxuk(x)
4
具有布洛赫函数形式，其中用到uk(x?ma)?uk(x)
B、简并情况下
1)Ek0?Ek'??Vn0此时波矢k离?n?a较远，k状态的能量和状态
k’差别较大把
2?Vn0?Ek'?00Ek'?Ek?E???22Vn?04Vn?Ek?00002Ek'?Ek(Ek'?Ek)?3*按泰勒级数展开得
由于能级间“排斥作用”，量子力学中微扰作用下，两个相互影响的能级总是原来较高的能量提高了，原来较低的能量降低了
2）Ek0?Ek'??Vn0时，波矢k非常接近?(Ek?Ek')4Vn2002n?a，k状态的能量和k’
能量差别很小按将3*式
E??12{E?E0k0k'泰勒级数展开得
?2Vn?(Ek?Ek')4Vn002} 代入相应的 E，E得
0k0k'2Tn?2V?T?V??T(?1)nnn?Vn?E????V?T?V??2T(2Tn?1)nnn?Vn?
Tn??22m(n?a)
2可得如下结论两个相互影响的状态k和k’微扰后，能量变为E+和E-，原来能量高的状态能量提高，原来能量低的状态能量降低。
???周期性 En(k)?En(k?Gn) [周期为
倒格矢，由晶格平移对称性决定]
??反演对称性 En(k)?En(?k)
?[En(k)是个偶函数 ]
??(k )宏观对称性 En(k)?En? [ ?为晶体的一个点群对称操作]
5
C、能带的性质
简约波矢的取值被限制在简约布里渊区，要标志一个状态需要表明：
1)它属于哪一个能带（能带标号） 2)它的简约波矢 k是什么？
3) 能带底部，能量向上弯曲；能带顶部，能量向下弯曲 2) 禁带出现在波矢空间倒格矢的中点处 3) 禁带的宽度Eg?2V1,2V2,2V3,?2Vn
4）各能带之间是禁带, 在完整的晶体中，禁带内没有允许的能级
5）计入自旋，每个能带中包含2N个量子态 4、紧束缚近似
1）紧束缚近似的假设：
电子在原子附近，主要受该原子势场作用，其它原子势场视为微扰作用。故此时不能用自由电子波函数，而用所有原子的同一电子波函数的线性组合来表示。不考虑不同原子态间的作用。它一般要求原子之间的距离较大。
2）模型实现
对于简单格子电子在格矢
????Rm?m1a1?m2a2?m3a3处原子附近运动
?(r)满足的薛定谔方程：
[?
??22m???2??U(r)]?(r)?E?(r)
6
?U(r)是晶体的周期性势场___所有原子的势 场之和。对方程进行
?2变换有[?2m??????????V(r?Rm)]?(r)?[U(r)?V(r?Rm)]?(r)?E?(r)
2???U(r)?V(r?Rm)即是微扰作用。
? 设晶体中电子的波函数?(r)??m??，代am?i(r?Rm)（此法的本质）
入上得：
?m???????am[?i?U(r)?V(r?Rm)]?i(r?Rm)?E?am?i(r?Rm)
m??考虑到当原子间距比原子半径大时，不同格点的?i(r?Rm)重叠很有 ，
??????(r?R)?(r?R)dr??nmmin?*i用?*i??(r?Rn)左乘上面方程
5*，得到
?m????????am??(r?Rn)[U(r)?V(r?Rm)]?i(r?Rm)dr?(E??i)an*i??????????[??(Rn?Rm)][U(?)?V(?)]?i(?)d???J(Rn?Rm)
*i?则得??amJ(Rnam?Cem??ik?Rm???Rm)?(E??i)an?k，考虑到周期性的势场，应有
???s????ik?RsJ(Rs)e，（
是任意常数矢量），则有E??i???Rs?Rn?Rm，
1?利用归一化条件则得：晶体中电子的波函数?k(r)?N?em??ik?Rm???i(r?Rm)
???1ik??r?????ik?(r?Rm)e[?e?i(r?Rm)]，由此可得 考虑用简约波失表示有?k(r)?Nm?对于确定k?，E(k)??i??s????ik?RsJ(Rs)e，而且实现了N个晶体中的电子
波函数与束缚态的波函数的幺正变换换：
???????????k1k2kN?????????e,e??????ik2?R1ik2?R2?1e,e??N???????ikikN?R2N?R1,e??e??ik1?R1??ik1?R2e??ik1?RN??ik2?RNe?e??ikN?RN?????(r?R)?1??i??????(r?R)?i2?????????????(r?R)iN???
3）模型简化：
7
?考虑?J(Rs)???当?(??Rs)和?i(?)*i???????(??Rs)[U(?)?V(?)]?i(?)}d?*i?的化简：
?有重叠时，积分不为0。
。。6*
a最完全的重叠Rb
?s???2???Rn?Rm?0，得J0????i(?)[U(?)?V(?)]d??其次考虑近邻格点的格矢Rs?，得E(k)??i?J0??22?????ik?RsJ(Rs)eRs?Nearest能带底部电子的有效质量m**?2J1a,能带顶部电子的有效质量
m???222J1a.
4）能级与能带的对应
A 计算简单立方晶格中由原子s态形成的能带 s态的波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同。找出紧邻坐标代入6*有
??E(k)??i?J0?2J1(coskxa?coskya?coskza)，其中在能带?:k?(0,0,0)处在
R:?k?(0,0,0)处用级数展开有Emin??i按
????k?(,,)aaa?J0?6J1，在能带顶部
????k?(,,)aaa附近按泰勒级数展开得
Emax??i?J0?6J1 带宽取决于J1，大小取
决于近邻原子波函数之间的相互重叠，重叠越多，形成能
带越宽，同样可以看出，由于k的取值个，故一个能级在微扰下分裂成为一个
可以有N能带。
B 对于一般情况有如下结论：
一个原子能级?i对应一个能带，不同的原子能级对应不同的能带。
8