当原子形成固体后，形成了一系列能带能量较低的能级对应的能带较窄，能量较高的能级对应的能带较宽。简单情况下，原子能级和能带之间有简单的对应关系，如ns带、np带、nd带等等，由于p态是三重简并的，对应的能带发生相互交叠，d态等一些态也有类似能带交叠。但是其能带不再是仅仅靠主量子数N决定，与L值也有关。
对于内层电子能级和能带有一一对应的关系， 对于外层电子，能级和能带的对应关系较为复杂。 5）瓦尼尔函数
紧束缚近似中，能带中电子波函数可以写成布洛赫和
???(k,r)?ik1N1N?en??ik?Rn???i(r?Rn)，对于任何能带
?nk??(k,r)??ne??ik?Rn??Wn(r?Rn)，即一个能带的
Wannier 函数是由同一
个能带的布洛赫函数所定义。如果晶体中原子之间的间距增大，当电子距离某一原子较近时，电子的行为类似于孤立原子时的情形
????Wn(r?Rn)??n(r?Rn)。
性质：
a. 局域性质（定域性）
由于u(k，r)=u(k，r-Rn)，因此 Wn(r-Rn) 是以 Rn 为中心的定域函数。 b.正交性 5、赝势
1）引入赝势的目的：
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在近自由电子近似时，假设电子所处势场的周期性起伏小，但实际材料势场周期性起伏都比较大，不能用近自由电子模型求解。但是近自由电子模型计算结果对于对于实际能带结构是适合的。为了解决这个矛盾，引入赝势概念。 2）赝势定义：
在离子实内部，用假想的势能取代真实的势能，求解波动方程时，若不改变其能量本征值及离子实之间的波函数，则这个假想的势能成为赝势。
3）模型的实现方式：
是赝势包含离子势和价电子的作用，称为有效势，可以有多种具体形式。选择包含一个或几个参量的模型，用与实验数据比较的方法，确定这些参量。 6、三种方法的比较：
近自由电子近似是一种电子可以自由运动的模型，是一种在自由电子基础上的微扰论，结果是自由电子能级发生分裂，形成能带。在使用它解决问题时需要知道V(x)，而这个V(x)可以通过赝势来实现，不同的结构对应的赝势是不同的。而紧束缚近似针对于电子被束缚在原子
?????周围，在解决实际问题时只需知道?i(r?Rm)和U(r)?V(r?Rm)，对于不?????同的原包结构其?i(r?Rm)和U(r)?V(r?Rm)均不同，这里应该也会有一个赝
势的方法，可以说紧束缚近似是在H原子模型上在用微扰论的。所以它的能带是在能级的基础上形成的，是原来原子团的能级分裂成的。而赝势方法只是提供了一种寻找等价V(x)的方法，实际运算需要结合
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其他的模型。 7、布里渊区与能带
1）明白波失空间和倒空间的区别，倒空间是倒格子的集合，倒格点是固定的分立的，而波失空间是波失的集合，波失是准连续的。在相同的空间大小中，波失数比倒格矢数要多。
2）布里渊区是波失空间的分区域，也是倒空间的分区域，他是在k空间把原点和所有倒格矢中点的垂直平分面画出，k空间分割为许多区域，每个区域内E~k是连续变化的，而在这些区域的边界上能量E(k)发生突变，这些区域称为布里渊区。 8，能态密度及费米面 1） 能态密度：
N(E)?lim?Z?E ，?Z表示能态数目，如果在波矢空间，根据
E(k)＝常数 作出等能面，则在等能面 E 和E＋ΔE之间的状态的数目就是ΔZE 。由于状态在 k 空间分布是均匀的、准连续的状
V态密度是(2?)，所以ΔZE＝［V／（2π）3］×（两等能面E—E+ΔE之间的体积）
N(E)?V(2?)33经过积分计算得：考虑电子自旋为2，则二维：
?VdS?kE
dSN(E)?4?3??kE
ΔZE＝［S／（2π）2］×（两等能线E-E+ΔE之间的面积），
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N(E)?S4?2?dL?kE
一维
ΔZE＝［L／（2π）］×（两等能点E-E+ΔE之间长度），
N(E)?L/2π
×1/?kE×2
2）费米面：
A.费米面是指绝对零度时， k 空间电子占据态与未占据态之间的分界面。电子填充量子态的形式：按泡利不相容原理由低到高填充能量尽可能低的N（电子数）个量子态。对于自由电子E电子填充k空间半径为kF的球N??求得相应的pF??kF?2?V3(k)??k2m22，
4(2?)3?kF3=自由电子数，便可
，当温度不是绝对零度时，求EF就与第七章是联
系在一起了。
B. 电子填充能带的形式有两种类型：
第一种：电子恰好填满最低的一系列能带，再高的能带都是空的。最高的满带称为价带(valence band)，最低的空带成为导带(conduction band)，价带最高能级与导带最低能级之间的范围则为带隙(band gap)。半导体带隙宽度较小 ~ 1 eV，绝缘体带隙宽度较宽 ~ 10 eV
第二种：除去完全被电子充满的一系列能带外，还有只是部分地被电子填充的能带，部分被电子填充的能带被称为导带(conduction band)。这时，电子所占据的最高能级即为费米能级，它位于一个或几个能带的范围之内。在每一部分占据的能带中，k 空间都有一个占
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有电子与不占有电子的分界面，所有这些表面的集合就是费米面。
C.导体，绝缘体，半导体和半金属的能带理论解释:
在绝对零度，如果电子刚好填充一个或更多能带,其余能带是全空的，那么晶体就是绝缘体，外电场也不能因其绝缘体内电流的流动因为满带和上边导带隔开,当温度升高时,出现下边两种情况。
1)当温度升高时,如果带隙很大,电子很难跃迁到导带,晶体仍为绝缘体，
2)如果能隙较小,电子隧穿效应使得导带中有少量电子,并在价带产生空穴,具有一定的导电性，称为半导体。 如能带未填满，在外场下电子做定向运动，就是导体。
3)能量交叠较小时晶体导电性比导体小几个数量级，晶体则称之为半金属。
D．构造费米面的具体步骤如下：
a. 利用En(k)是倒格矢的周期函数，画出布里渊区的扩展图形。 b. 用自由电子模型画出费米球。
c. 落在各个布氏区的费米球片断平移到简约布里渊区的等价部位。
d. 由自由电子模型过渡到准自由电子模型必须注意能带边界 禁带出现。费米面同布里渊区边界垂直相割，自由电子的费米面尖角 处要钝化。
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