三、常见习题
简答题部分
6.1 周期场是能带形成的必要条件吗？
解答：不是。能带论虽然是从周期场中推导出来的，但周期场并不是能带形成的必要条件，在非晶体中固体中,电子同样具有能带结构,周期场对能带的形成是必要条件，这是由于在周期场中运动的电子的波函数是一个周期性调幅的平面波，即是一个布洛赫波。由此使能量本征值也称为波矢的周期函数，从而形成了一系列的能带。
6.2 禁带是否一定出线？出现晶带与哪些因素有关？ 解答：禁带不一定出现。在一维情况下，禁带一定出现，在三维情况下，在 k 空间的不同方向，不连续的能量范围不一定相同，从而不连续不一定导致禁带的发生，这就是说，不同能带的禁带不一定存在，可能发生能量交叠。在布里渊区界面是否出现禁带与下列因素有关：一是与周期势场的具体形式有关，若在某个布里渊区界面上，V r 的展开式系数 V G 时,则此布里渊区界面上将不出现能隙，两个能带联为一体；二是与结构因子有关，如结构因子 S G = 0 时，在相应布里渊区界面上的能隙为零。 1能带理论基础 产生禁带的原因：是在布区边界上存在布拉格反射产生禁带的原因：是在布区边界上存在布拉格反射.
6.3为什么引入正交平面波法？这种方法有何优点？ 解答：同内层电子态正交的平面波称为正交化平面波，电子
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的布洛赫波函数只有在两个离子实的中间区域是变化平缓的，在离子实区域（简称芯区），晶体势很强，波函数不像平面波，而具有类似于孤立原子中电子波函数的急剧震荡特性。因为平面波展开收敛很慢,使其难以成为能带计算的实用方法，而价电 子波函数的振荡部分出现离子实区域，此波函数又必须与内层电子的波函数正交，正交平面波正好在离子 实区域引进振荡成分，恰好能描述价电子的特征。 这种方法的优点是减少了计算工作量，只需取几个正交的平面波就会得到很好的结果。
计算题部分
6.1 一维周期场中电子的波函数?k?x?应满足布洛赫定理，若晶格常
数为a，电子的波函数为（1）
?k?x????x??sink?ax（2）
?k?x??icos3?ax（3）
?f?x??a?i???? （f是某个确定的函数）试求电子在这些状态
的波矢 解：布洛赫函数为 （1）
?sinsin?k?x?a??e?k?x?ika
x?a(x?a)?sin(?ax??)??sin?a
，
k???a(x?a)?eikasin?ax?a ?e3?ika??1 ，ka???
（2）
icos3?a?x?a??icos??3??x?3????icosxa?a?
k???a 同理，?eika??1 ，ka??? ，
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（3）??????f?x??a?a???f?x?(??1)a????????
?1，ka?0或2?
??f?x??'a???f?x??a??'???????e 此处?'???1，
ika ，
k?0或2?a
6.2已知一维晶格中电子的能带可写成
E?k??1?7??coska?cos2ka??2ma?88??2，式中a是晶格常数，m是电子的质
量，求（1）能带的宽度，（2）电子的平均速度， （3） 在带顶和带底的电子的有效质量
dE?k?解：能带宽度为
sinka?14?E?Emax?Emin12， 由极值条件
dk?0， 得
ka?0sin2ka?sinka?sinkacoska?0 上式的唯一解是sink?0或的
?a解，此式在第一布里渊区内的解为
22 当k＝0时，E?k?取极小值Emin，且有Emin当
k??E?0??0?a时，E?k?取极大值Emax ，且有
Emax2?????E????a?ma
由以上的可得能带宽度为
?E?Emax?Emin?1dE?k??dk2?ma22
（2）电子的平均速度为
v????1?sinka?sin2ka??ma?4?
（3）带顶和带底电子的有效质量分别为
m?k???a
???1??2?1????2??m?coska?cos2ka?2?E????2???k??k???a??k??23m?a
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m?k?0 6.2
???2??2??E2???k??1?1???m?coska?cos2ka??2?????k?0?2m0
一维周期势场为
?1?mWV?x???2??2?b2??x?na?02?当na?b?x?na?b当(n?1)a?b?x?na?b ，
其中a?4b ，W为常数，求此晶体第一及第二禁带宽度 解：据自由电子近似得知禁带宽度的表示式为 Eng?2Vn ，
其中V是周期势场V?x?傅立叶级数的系数，该系数为：
Vn?1a?a/2
V?x?e?i2?anxdx?a/2
求得，第一禁带宽度为
Eg1?2V1?21a
?a/2V?x?e?i2?axdx?a/2
?214b
?bmW22?b?b22?xe2??i2?anxdx
??cos???x?dx?2b??214b?3bmW22?b?b2?x2
?8mWb2?
第二禁带宽度为
Eg1?2V2?21a
?a/2V?x?e?i4?axdx?a/2
2?214b
?bmW22?b?b?xe2??i?axdx
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6.3
?214b?22bmW22?b?b2?x2??cos???x?dx?b?
?mWb2?
用紧束缚近似计算最近邻近似下一维晶格s态电子能带，画出E?k?，m?k?与波矢的关系，证明只有在原点和布里渊区边界附
?近，有效质量才和波矢无关。 解： 根据紧束缚近似，
E?k??E0?J0?J1?eRsika 对一维，最近邻Rs??a
?22 则
E?k??E0?J0?J1e?ika?e?ika??E0?J0?J1coskam?? E?k?为余弦函数 （图省） 有效质量
m?k???E?k2??2?2Ja12coska?
的图也省， 在原点附近，ka很小，coska????1
?m?2?2Ja? 在布里渊区边界，
212k???a，ka???，coska??1
?m????2Ja??21??222J1a
6.4
2222??k1k2k3???E????2?m1m2m3??某晶体电子的等能面是椭球面
，坐标轴
1，2，3互相垂直。求能态密度。
解：由已知条件可将波矢空间内电子能带满足的方程化为
k1k2k3???12m1E2m2E2m3E222
?2?2?2
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