x22 将上式与椭球公式a?yb22?zc22?1
比较可知，在波矢空间内电子的等能面是一椭球面，与椭球的体积
43?abc 比较可得到，能量为E的等能面围成的椭球体积
4 3? 由上式可得
d??4??3???232m1m2m3E3/2
2m1m2m3E??E?dEVc1/2dE
能量区间Edz?2Vc?内电子的状态数目
2m1m2m3E1/2
?2??3d????23dE
Vc是晶体体积，电子的能态密度
N?E??dzdE?Vc??232m1m2m3E1/2
?cosaky???cosakz6.5 其中?已知能带为：E?0?k?????cosakx
，??0，a为晶格常数，试求
（1） （2） （3）
?E能带宽度
?电子在波矢2a(1,1,1)状态下的速度
能带底附近电子的能态密度
?a?sinakx?0解：（1） ?kx?E?ky?E?kz，?kxa?n?
?a?sinaky?0，
?kya?n??a?sinakz?0，?kza?n?
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可看出，n为偶数时E为极小值，n为奇数时为极大值
?E顶＝????1＋??1???????1?＝2???
E底＝???1?1????1＝?2???
故，能带宽度?E（2）v?v
vx?1?E??kx?x?E顶?E底＝4??2?i?vyj?vzk1? 其中
vy?1?E??ky?1??asinakx
?asinaky
vz?1?E??kz?1?a?sinakz
在
k??2a(1,1,1)时
vx?vy?1??avz?1?a??v?1??a??i?j??a?k?y
（3）
x2能带底n为偶数，可取为零，故kxa，ka，kza均很小
??122??122??122????Ek???1?ka?1?ka??1?kza??????xycosx?1???222????????2 (x??1)有据
??2?????ak222x??ak222y??ak222zkx?E?2????22?2ky22kz?222?a2?a?a2
2 用和6.5题相同的方法，其中?m3?22E?E?2???，
m1??a2，
m2?2?a2，
?a2
1/2则：6.6
?2?1??E??2?2?E?2??????????
用紧束缚模型求最近邻近似的s态电子能带公式，写出二维正三角形网络的能带，计算电子的速度及有效质量张量。
解：
?E?k??E0?J0?J1?eRsik?Rs
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y x 对二维正三角晶格（如图），6个最近邻的坐标为
?a?a?a?a3?3?3?3??,?,???,??,?a?a?a?a??22??2????2?22?22??a,0?，??a,0?，??，???? ，，
代入上式并化简得：
??ka3E?k??E0?J0?J1?coskxa?2cosxcoskya???22??
电子速度：v?vvx?1?E??kx1?E??ky?xi?vyj，其中
?2J1a?ka3?sinkxa?sinxcoskya????22??
vy??23J1a?kxa3??cossinkya????22??
?m?由于
?m??1ij?12?E2??kx?ky
???1xx?
2?aJ1?ka3?2coskxa?cosxcos??kay?2??22??2?3aJ1?ka3?cosxcos??kay?2??22??
?m?
??1yy?m? 6.7 （1）
??1xy??2?3aJ1?ka3?sinxsin?kay?2??22??
用紧束缚近似计算面心立方晶格最近邻近似下s态电子能带
证明在k＝0附近，能带的等能面是球形的，导出有效
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质量。 （2） （3） 解：（1）
画出[100]与[111]方向的E?k?曲线。 画出kx?ky平面内能量的等值线。
ik?RsRs?E?k??E0?J0?J1?e
面心立方最近邻有十二个原子，其Rs位置在
i??a2a20?j?a20a2??k0a2a2
将这些Rs代入上式并简化可得：
kyakyakxakzakzakxa??E?k??E0?J0?4J1?coscos?coscos?coscos?222222??2 在k＝0附近，
kx，，，均很小，利用
kykzcosx?1?x2，（x<<1, 则得
??1??1?2????E?k??E0?J0?4J1??????1?????22221?kya???1?kya???1?kza????kxa???????1?????1??????1?????2222222?????????????????????????22????1?kza?1?kxa?????1?????2?2???2?2???????
?a?222E?k??E0?J0?4J1???kx?ky?kz??2?故
2由于其余
?m????1??m??1ii??1?E?22?ki28J?a???21?????2?2J1a22
mij?0
ky?kz?0（2） 在[100]方向，，则
2
即可按此函数作图（图省）
22
E?k??E0?J0?4J1?8J1coskxa 在[111]方向，kx?ky?kz?k2
22
可据上函数作图（图省）
?E?k??E0?J0?3?4J1coska?E0?J0?12J1coska2
（4）
在kx?ky平面内，kz?0
kya??kxa11??E?k??E0?J0?4J1?coscoska?cos?coskayx??2222??
等值线即 E?k??C （C为常数） 6.8
对体心立方晶格，用紧束缚法近似计算最近邻近似下s态电子能带，证明在带底和带顶附近等能面近似为球形，写出电子的有效质量。
解：s态电子能带可表示为
E?k??E0?J0?J1?eRsik?Rs
a2对体心立方，最近邻原子为8个，其Rs为：
E?k??E0?J0?J1[e?eia2ia2?，
ia2?a2，
?a2
?kx?ky?kz??eia2ia2?kx?ky?kz??eia2ia2?kx?ky?kz??e??kx?ky?kz???kx?ky?kz??eia2??kx?ky?kz??e?kx?ky?kz??e??kx?ky?kz?
化简后即得：
ka11??E?k??E0?J0?8J1?cosxcoskyacoskza?222?? 故
kia由于?1?cosx?1，可看出
E?k?kia2??时，
coskia2??1
为极大值，即Emax?0?8J1cos
?1kia2而
2，。即
ki?0时，
E?k?为极小值，即Emin??8J1
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故带宽?E
?Emax?Emin＝16J1
在带底附近，由于
ki?0，用
cosx?1?x22，则
222?1?kxa???1?kya???1?kza??E?k??E0?J0?8J1?1?????1???????1??222222??????????????????
2?a222??E0?J0?8J1?1?(kx?ky?kz)?8??
这显然是一个球形
?m???1?m2???ii2?1?1?E?22有效质量
m???k2i?2J1a?22，
?所以
2J1a
kia????i在带顶附近，可写为2则
coskia，?i很小
1?2??cos(???i)??cos?i???1???i??22??1?222??E?k??E0?J0?8J1?1???x????y????z??2????这显然也是个球形
2??kxa???2??????????221?E1?2J1a?12?????2?28J1????222?????kx?2?kx??????????????m?而
m?????1?mii????1，
?222J1a
总结结束，谢谢！
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