注：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽度。 3、空间几何体的直观图——斜二测画法
斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变； ②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积
（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线）
（3）柱体、锥体、台体的体积公式
（4）球体的表面积和体积公式：V= ； S= 4、空间点、直线、平面的位置关系
公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。 应用： 判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理1：
公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。 符号语言： 公理2的作用：
①它是判定两个平面相交的方法。
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。 ③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。 公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。 公理3及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 空间直线与直线之间的位置关系
① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 ② 异面直线性质：既不平行，又不相交。
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③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线
④ 异面直线所成角：作平行，令两线相交，所得锐角或直角，即所成角。两条异面直线所成角的范围是（0°]，，90°若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。 求异面直线所成角步骤：
A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。 B、证明作出的角即为所求角 C、利用三角形来求角
（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。 （8）空间直线与平面之间的位置关系 直线在平面内——有无数个公共点．
三种位置关系的符号表示：aα a∩α＝A a‖α
（9）平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点；α‖β 相交——有一条公共直线。α∩β＝b 5、空间中的平行问题
（1）直线与平面平行的判定及其性质
线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。 线线平行线面平行
线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交， 那么这条直线和交线平行。线面平行线线平行 （2）平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理
（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 （线面平行→面面平行），
（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。 （线线平行→面面平行），
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行， 两个平面平行的性质定理
（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行→线面平行） （2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行→线线平行） 7、空间中的垂直问题
（1）线线、面面、线面垂直的定义
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①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。 ②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。
③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。 （2）垂直关系的判定和性质定理 ①线面垂直判定定理和性质定理
判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 ②面面垂直的判定定理和性质定理
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。 9、空间角问题
（1）直线与直线所成的角 ①两平行直线所成的角：规定为。
②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。
③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。 （2）直线和平面所成的角
①平面的平行线与平面所成的角：规定为。 ②平面的垂线与平面所成的角：规定为。
③平面的斜线与平面所成的角： 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。 在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，
在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。 （3）二面角和二面角的平面角
①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。
③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。
两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角 ④求二面角的方法
定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角
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垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角
高中数学必修三知识点
第一章 算法初步 1.1.1 算法的概念 1、算法概念： 在数学上， 现代意义上的 “算法” 通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤， 这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成. 2. 算法的特点: (1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的. (2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当 是模棱两可. (3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个 确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步 都准确无误，才能完成问题. (4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法. (5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经 过有限、事先设计好的步骤加以解决. 1.1.2 程序框图 1、程序框图基本概念： （一）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来 准确、直观地表示算法的图形。 一个程序框图包括以下几部分：表示相 （二）应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文 字说明。构成程序框的图形符号及其作用 程序框 名称 起止框 不可少的。 表示一个算法输入和输出的信息， 可用在算 输入、输出框 法中任何需要输入、输出的位置。 赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、 处理框 公式等分别写在不同的用以处理数据的处 理框内。 判断某一条件是否成立， 成立时在出口处标 判断框 明“是”或“Y” ；不成立时标明“否”或 “N” 。 学习这部分知识的时候， 要掌握各个图形的形状、 作用及使用规则， 画程序框图的规则如下： 1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外， 大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。 4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果； 另一类是多分支判断，有几种不同的结果。5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。 、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。 （三） 1、顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上 到下 的顺序进行的， 它是由若干个依次执行的处理步骤组成的， 它是任何一个算法都离不开的一 种基本算法结构。A 框顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而 下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，和 B 框是依次执行的，只有在执行完 A 框指定的操作后，才能接着执 行 B 框所指定的操作。 2、条件结构： 、条件结构： 功能 表示一个算法的起始和结束， 是任何流程图 A B 条件结构是指在算法中通过对条件的判断 根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。 条件 P 是否成立而选择执行 A 框或 B 框。无论 P 条件是否成立，只能执行 A 框或 B 框之一， 不可能同时执行 A 框和 B 框，也不可能 A 框、B 框都不执行。一个判断结构可以有多 个判断 框。 3、循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理 、循环结构：步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含 条件结构。循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类： （1） 、一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件 P 成立时，执行 A 框，A 框执行完毕后，再判断条件 P 是否成立，如果仍然成立，再执行 A 框，如此反复执 行 A 框，直到某一次条件 P 不成立为止，此时不再执行 A 框，离开循环结构。 （2） 、另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条 件 P 是否成立，如果 P 仍然不成立，则继续执行 A 框，直到某一次给定的条件 P 成立为止， 此时不再执行 A 框，离开循环结构。 A P 不成立p P 成立 成立 A 不成立 当型循环结构 直到型循环结构 注意： 注意：1 循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判断。因此，循环结 构中一定包含条件结构，但不允许“死循环” 在循环结构中都有一个计数变量和累加变 。2 量。计数变量用于记录循环次数，累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步 ．．．．．． 执行的，累加一次，计数一次。 1.2.1 输入、输出语句和赋值语句 输入、 1、输入语句 、 （1）输入语句的一般格式 图形计算器 格式 INPUT“提示内容” ；变量 INPUT “提示内容” ，变量 （2）输入语句的作用是实现算法的输入信息功能； “提示内容”提示用户输入什么样的 （3） 信息，变量是指程序在运行时其值是可以变化的量； （4）输入语句要求输入的值只能是具体 的常数，不能是函数、变量或表达式； （5）提示内容与变量之间用分号“； ”隔开，若输入 多个变量，变量与变量之间用逗号“， ”隔开。 2、输出语句 、 （1）输出语句的一般格式 图形计算器 格式 PRINT“提示内容” ；表达式 Disp “提示内容” ，变量 （2）输出语句的作用是实现算法的输出结果功能； “提示内容”提示用户输入什么样的 （3） 信息，表达式是指程序要输出的数据； （4）输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及 字符。 3、赋值语句 、 （1）赋值语句的一般格式 图形计算器 格式 变量＝表达式 表达式 → 变量 （2）赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变
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量； （3）赋值语句中的“＝”称作赋值 号，与数学中的等号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达 式的值赋给赋值号左边的变量； （4）赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表 达式可以是一个数据、常量或算式； （5）对于一个变量可以多次赋值。 注意： 注意：①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2=X 是错误的。②赋值号左 右不能对换。如“A=B” “B=A”的含义运行结果是不同的。③不能利用赋值语句进行代数 式的演算。 （如化简、因式分解、解方程等）④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。 1．2．2 条 件语句 ． ． 1、条件语句的一般格式有两种： 、 （1）IF—THEN—ELSE 语句； （2）IF—THEN 语句。2、IF 、—THEN—ELSE 语句 — IF—THEN—ELSE 语句的一般格式为图 1， IF 条件 语句 1 ELSE 对应的程序框图为图 2。语句 2 END IF THEN 满足条件？ 是 语句 1 否 语句 2 图1 图2 分析：在 IF—THEN—ELSE 语句中， “条件”表示判断的条件， “语句 1”表示满足条件时 执行的操作内容； “语句 2”表示不满足条件时执行的操作内容；END IF 表示条件语句的 结束。计算机在执行时，首先对 IF 后的条件进行判断，如果条件符合，则执行 THEN 后面 的语句 1；若条件不符合，则执行 ELSE 后面的语句 2。 3、IF—THEN 语句 、 — IF—THEN 语句的一般格式为图 3，对应的程序框图为图 4。 IF 条件 THEN 语句 END IF （图 3） （图 4） 满足条件？ 否 是 语句 注意： “条件”表示判断的条件； “语句”表示满足条件时 执行的操 注意： 作内容，条件不满足时，结束程序；END IF 表示条件语句的结束。计算机在执行时首先 对 IF 后的条件进行判断，如果条件符合就执行 THEN 后边的语句，若条件不符合则直接结 束该条件语句，转而执行其它语句。 1．2．3 循环语句 ． ． 循环结构是由循环语句来实现的。 对应于程序框 一般程序设计语 言中也有当型图中的两种循环结构，（WHILE 型）和直到型（UNTIL 型）两种语句结构。即 WHILE 语句和 UNTIL 语 句。 1、WHILE 语句 、 （1）WHILE 语句的一般格式是 对应的程序框图是 循环体 WHILE 条件 循环体 WEND 满足条件？ 否（2）当计算机遇到 WHILE 语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行 WHILE 与 WEND 之间的循环体； 直然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个 过程反复进行，到某一次条件不符合为止。 这时， 计算机将不执行循环体， 直接跳到 WEND 语句后，接着执行 WEND 之后的语句。因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。 是 2、UNTIL 语句 、 （1）UNTIL 语句的一般格式是 对应的程序框图是 DO 循环体 LOOP UNTIL 条件 循环体 满足条件？ 是 否 （2）直到型循环又称为“后测试型”循环，从 UNTIL 型循环结构分析，计算机执行该语句 时，先执行一次循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然 后再进行条件的判断，这个过程反复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到 LOOP UNTIL 语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。 分析： （先由学生讨论再归纳） 分析：当型循环与直到型循环的区别： （1） 当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断； 在 WHILE 语句中，是当条件满足时执行循环体，在 UNTIL 语句中，是当条件不满足时执行循 环 1.3.1 辗转相除法与更相减损术 1、辗转相除法。也叫欧几里德算法，用辗转相除法求最大公约数的步骤如下： （1） ：用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个商 为 m，n 的最大公约数；若 （3） ：若 商 S0 和一个余数 R0 ； ：若 R0 ＝0，则 n （2） R0 ≠0，则用除数 n 除以余数 R0 得到一个商 S1 和一个余数 R1 ； R1 ＝0，则 R1 为 m，n 的最大公约数；若 R1 ≠0，则用除数 R0 除以余数 R1 得到一个依次计算直至 S2 和一个余数 R2 ；…… Rn ＝0，此时所得到的 Rn ?1 即为所求的最 大公约数。 2、更相减损术 我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在《九章算术》中有更相减损术 求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母?子之数，以少减多，更相减损， 求其等也，以等数约之。 翻译为： ：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用 2 约简；若不是，执 （1） 行第二步。 ：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减 （2） 小数。继续这个操作，直到所得的数 相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。 例 2 用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数. 分析： （略）3、辗转相除法与更相减损术的区别： （1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以 计算次数上辗转相除法计算次数相对较少， 特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别 较明显。 （2）减法为主，
从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为 0 则得到，而更相减损术 则以减数与差相等而得到 1.3.2 秦九韶算法与排序 1、秦九韶算法概念： f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0 求值问题 f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=( anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0 =(( anxn-2+an-1xn-3+….+a2)x+a1)x+a0
=......=(...( anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0 求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即 v1=anx+an-1 然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即 v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 ...... vn=vn-1x+a0、 这样，把 n 次多项式的求值问题转化成求 n 个一次多项式的值的问题。 2、两种排序方法 、两种排序方法：直接插入排序和冒泡排序 1、直接插入排序 基本思想：插入排序的思想就是读一个，排一个。将第１个数放入数组的第１个元素中，以 后读入的数与已存入数组的数进行比较， 确定它在从大到小的排列中应处的位置． 将该位置 以及以后的元素向后推移一个位置，
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