是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件.
③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列） ．．附：几种常见的数列的思想方法：
⑴等差数列的前n项和为Sn，在d?0时，有最大值. 如何确定使Sn取最大值时的n值，有两种方法： 一是求使an?0,an?1?0，成立的n值；二是由Sn?数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下： 数列 等差数列 等比数列 数列 等差数列 等比数列 我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以及前n项和看成是关于n的函数，为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。 例题：1、等差数列分析：因为
中，
，
则
.
前n项和公式 对应函数 （时为二次函数） 通项公式 对应函数 （时为一次函数） d2dn?(a1?)n利用二次函数的性质求n的值. 22（指数型函数） （指数型函数） 是等差数列，所以是关于n的一次函数，
)三点共线，
一次函数图像是一条直线，则（n,m）,(m,n),(m+n,
所以利用每两点形成直线斜率相等，即
一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。 例题：2、等差数列
中，
，前n项和为
，若
，得=0（图像如上），这里利用等差数列通项公式与
，n为何值时最大？
分析：等差数列前n项和可以看成关于n的二次函数=，
是抛物线=上的离散点，根据题意，，
则因为欲求
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最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为，即当时，最大。
例题：3递增数列分析：以
，对任意正整数n，
递增得到：
恒成立，求
恒成立，即
的最大值即可，显然
恒成立，所有最大值
构造一次函数，由数列
对一切，所以
对于一切，则只需求出
恒成立，设
。
的取值范围是：
看成函数
构造二次函数，，它的定义域是，因为是递增数列，即函
数为递增函数，单调增区间为,抛物线对称轴，因为函数f(x)为离散函数，要函数单
调递增，就看动轴与已知区间的位置。从对应图像上看，对称轴在的左侧
也可以（如图），因为此时B点比A点高。于是，
，得
⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依照等比数列前n项和的推倒111导方法：错位相减求和. 例如：1?,3,...(2n?1)n,...
242⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差d1，d2的最小公倍数.
2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证an?an?1(2一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证2an?1?an?an?2(an?1?anan?2)n?N都成立。
an)为同an?1?am?03. 在等差数列｛an｝中,有关Sn 的最值问题：(1)当a1>0,d<0时，满足?的项数m使得sm取最大值. (2)当
a?0?m?1?a?0a1<0,d>0时，满足?m的项数m使得sm取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
?am?1?0附：数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 2.裂项相消法:适用于??c??其中{ an}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。
?anan?1?1,求这个数列的前n项和Sn.
n(n?1)例题：已知数列{an}的通项为an=
解：观察后发现：an=
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11? nn?1
sn?a1?a2?????an ∴
11111?(1?)?(?)?????(?)
223nn?11?1?n?13.错位相减法:适用于?anbn?其中{ an}是等差数列，?bn?是各项不为0的等比数列。 例题：已知数列{an}的通项公式为an?n?2n，求这个数列的前n项之和sn。 解：由题设得：
sn?a1?a2?a3?????an
=1?2?2?2?3?2?????n?2 即
123nsn=1?21?2?22?3?23?????n?2n ①
把①式两边同乘2后得
2sn=1?22?2?23?3?24?????n?2n?1 ②
用①-②，即：
sn=1?21?2?22?3?23?????n?2n ① 2sn=1?22?2?23?3?24?????n?2n?1 ②
得
?sn?1?2?22?23?????2n?n?2n?12(1?2n)??n?2n?11?2?2n?1?2?n?2n?1?(1?n)2n?1?2∴sn?(n?1)2n?1?2
4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法. 5.常用结论
n(n?1)?1?21）: 1+2+3+...+n = 2） 1+3+5+...+(2n-1) =n 3）13?23???n3??n(n?1)?
2?2?4） 1?2?3???n?2222211111111n(n?1)(2n?1) 5）???(?) 6n(n?1)nn?1n(n?2)2nn?2 - 28 - / 35
6）
1111?(?)(p?q) pqq?ppq31、a?b?0?a?b；a?b?0?a?b；a?b?0?a?b．
32、不等式的性质： ①a?b?b?a；②a?b,b?c?a?c；③a?b?a?c?b?c； ④a?b,c?0?ac?bc，a?b,c?0?ac?bc；⑤a?b,c?d?a?c?b?d； ⑥a?b?0,c?d?0?ac?bd；⑦a?b?0?an?bn?n??,n?1?； ⑧a?b?0?na?nb?n??,n?1?．
33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式． 34、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式（高次不等式）的解法
穿根法（零点分段法）
求解不等式：a0xn?a1xn?1?a2xn?2???an?0(?0)(a0?0)
解法：①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)?(x-xm)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便) ②求根，并将根按从小到大的在数轴上从左到右的表示出来；
③由右上方穿线（即从右向左、从上往下：偶次根穿而不过，奇次根一穿而过），经过数轴上表示各根的点（为什么？）；
④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.
（自右向左正负相间）
例题：求不等式x?3x?6x?8?0的解集。 解：将原不等式因式分解为：(x?2)(x?1)(x?4)?0
由方程：(x?2)(x?1)(x?4)?0解得x1??2,x2?1,x3?4 将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来，如图
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22+ X1 + —X2 X3 + Xn-2 Xn-1 —Xn + X
由图可看出不等式x?3x?6x?8?0的解集为：x|?2?x?1,或x?4 例题：求解不等式解：略
一元二次不等式的求解：
特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；
②一元二次不等式ax+bx+c>0(a>0)解的讨论.
二次函数 ??0 ??0 ??0 2
+ + 1 ? -2 ? 4 x 22??(x?1)(x?2)(x?5)?0的解集。
(x?6)(x?4)y?ax2?bx?c （a?0）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R ? ? ax2?bx?c?0?a?0?的根ax2?bx?c?0(a?0)的解集ax2?bx?c?0(a?0)的解集x1,x2(x1?x2) x1?x2??b 2a b??xx?x1或x?x2? ??xx??? 2a?? ?xx1?x?x2? 对于a<0的不等式可以先把a化为正后用上表来做即可。 2.分式不等式的解法 （1）标准化：移项通分化为
f(x)f(x)f(x)f(x)>0(或<0)； ≥0(或≤0)的形式， g(x)g(x)g(x)g(x)（2）转化为整式不等式（组）
f(x)f(x)f(x)g(x)?0?0?f(x)g(x)?0;?0???g(x)?0?g(x)g(x)
例题：求解不等式：解：略
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