??????⑶三角形不等式：a?b?a?b?a?b．
??????????⑷运算性质：①交换律：a?b?b?a；②结合律：a?b?c?a?b?c；
?????????③a?0?0?a?a．
C
?a
?b
?
?
??????????????a?b??C?????C
????⑸坐标运算：设a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b??x1?x2,y1?y2?． 18、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
????⑵坐标运算：设a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b??x1?x2,y1?y2?．
????设?、?两点的坐标分别为?x1,y1?，?x2,y2?，则????x1?x2,y1?y2?． 19、向量数乘运算：
??⑴实数?与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作?a．
??①?a??a；
??????②当??0时，?a的方向与a的方向相同；当??0时，?a的方向与a的方向相反；当??0时，?a?0．
?????????⑵运算律：①???a??????a；②?????a??a??a；③?a?b??a??b．
????⑶坐标运算：设a??x,y?，则?a???x,y????x,?y?．
??????20、向量共线定理：向量aa?0与b共线，当且仅当有唯一一个实数?，使b??a．
??????????设a??x1,y1?，b??x2,y2?，其中b?0，则当且仅当x1y2?x2y1?0时，向量a、bb?0共线．
???????21、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量
????????????a，有且只有一对实数?1、?2，使a??1e1??2e2．（不共线的向量e1、e2作为这一平面内所有向量的一组基底）
????????22、分点坐标公式：设点?是线段?1?2上的一点，?1、?2的坐标分别是?x1,y1?，?x2,y2?，当?1?????2?x??x2y1??y2?时，点?的坐标是?1,?．
1????1?? - 21 - / 35
23、平面向量的数量积： ?????????⑴a?b?abcos?a?0,b?0,0???180?．零向量与任一向量的数量积为0．
????????????????⑵性质：设a和b都是非零向量，则①a?b?a?b?0．②当a与b同向时，a?b?ab；当a与b反向
???2?2???????????时，a?b??ab；a?a?a?a或a?a?a．③a?b?ab．
?????????????????⑶运算律：①a?b?b?a；②??a??b??a?b?a??b；③a?b?c?a?c?b?c．
??????????⑷坐标运算：设两个非零向量a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b?x1x2?y1y2．
??2?若a??x,y?，则a?x2?y2，或a?x2?y2．
????设a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b?x1x2?y1y2?0．
?????a?b???设a、b都是非零向量，a??x1,y1?，b??x2,y2?，?是a与b的夹角，则cos?????ab
x1x2?y1y2x?y2121x?y2222．
第三章 三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴cos??????cos?cos??sin?sin?； ⑵cos??????cos?cos??sin?sin?； ⑶sin??????sin?cos??cos?sin?； ⑷sin??????sin?cos??cos?sin?； ⑸tan??????tan??tan?（tan??tan??tan??????1?tan?tan??）；
1?tan?tan?tan??tan?（tan??tan??tan??????1?tan?tan??）．
1?tan?tan?⑹tan??????25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin2??2sin?cos?．
⑵cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?（cos2??⑶tan2??cos2??11?cos2?，sin2??）． 222tan?．
1?tan2??． ?26、?sin???cos???2??2sin?????，其中tan??
- 22 - / 35
必修5知识点总结
1、正弦定理：在???C中，a、b、c分别为角?、?、C的对边，R为???C的外接圆的半径，则有
abc???2R． sin?sin?sinC2、正弦定理的变形公式：①a?2Rsin?，b?2Rsin?，c?2RsinC；
abc，sin??，sinC?；③a:b:c?sin?:sin?:sinC； 2R2R2Ra?b?cabc???④．
sin??sin??sinCsin?sin?sinC②sin??（正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角和一边，求其余的量。）
⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况） 如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。具体的做法是：数形结合思想 画出图：法一：把a扰着C点旋转，看所得轨迹以AD有无交点： 当无交点则B无解、 当有一个交点则B有一解、 当有两个交点则B有两个解。 法二：是算出CD=bsinA,看a的情况： 当a 注：当A为钝角或是直角时以此类推既可。 3、三角形面积公式：S???C?A b bsinA D a C 111bcsin??absinC?acsin?． 2222222224、余弦定理：在???C中，有a?b?c?2bccos?，b?a?c?2accos?， c2?a2?b2?2abcosC． b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c25、余弦定理的推论：cos??，cos??，cosC?． 2bc2ac2ab(余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角) 6、如何判断三角形的形状：设a、b、c是???C的角?、?、C的对边，则：①若a?b?c，则C?90； ②若a?b?c，则C?90；③若a?b?c，则C?90． 正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标A、B, 但不能到达，在岸边选取相距3千米的C、D两点， C - 23 - / 35 222?222?222?B A D 并测得∠ACB=75, ∠BCD=45, ∠ADC=30, ∠ADB=45(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离。 本题解答过程略 附：三角形的五个“心”； 重心：三角形三条中线交点. 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点. 7、数列：按照一定顺序排列着的一列数． 8、数列的项：数列中的每一个数． 9、有穷数列：项数有限的数列． 10、无穷数列：项数无限的数列． 11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：an+1>an）． 12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：an+1 14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 15、数列的通项公式：表示数列?an?的第n项与序号n之间的关系的公式． 16、数列的递推公式：表示任一项an与它的前一项an?1（或前几项）间的关系的公式． 17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．符号表示:an?1?an?d。注：看数列是不是等差数列有以下三种方法： ① an?an?1?d(n?2,d为常数)②2an?an?1?an?1(n?2) ③an?kn?b(n,k为常数 18、由三个数a，?，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则?称为a与b的等差中项．若b?称b为a与c的等差中项． 19、若等差数列 O OOO a?c，则2?an?的首项是a，公差是d，则a1n?a1??n?1?d． ； an?a120、通项公式的变形：①an?am??n?m?d；②a1?an??n?1?d；③d?n?1an?aman?a1d??1；⑤④n?n?md． 21、若?an?是等差数列，且m?n?p?q（m、，则am?anq??*）n、p、 - 24 - / 35 ?ap?aq；若?an?是等差数列，且2n?p?q （n、p、q??*），则2an?ap?aq． n?a1?an?n?n?1?S?S?na?d．③sn?a1?a2???an 22、等差数列的前n项和的公式：①n；②n12223、等差数列的前n项和的性质：①若项数为2nn???*nd?，则S2n?n?an?an?1?，且S偶?S奇?S奇an?，S偶an?1． *②若项数为2n?1n??，则S2n?1??2n?1?an，且S奇?Sa，偶?n??S奇n（其中S奇?nn?a， S偶n?1． S偶??n?1?an） 24、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．符号表示： an?1?q（注：①等比数列中不会出现值为0的项；②同号位上的值同号） an注：看数列是不是等比数列有以下四种方法： 2①an?an?1q(n?2,q为常数,且?0) ②an?an?1?an?1(n?2，anan?1an?1?0) ③an?cqn(c,q为非零常数). ④正数列{an}成等比的充要条件是数列{logxan}（x?1）成等比数列. 25、在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项．若G?ab，则称G为a与b的等比中项．（注：由G?ab不能得出a，G，b成等比，由a，G，b?G?ab） 26、若等比数列?an?的首项是a1，公比是q，则an?a1qn?1． n?m27、通项公式的变形：①an?amq；②a1?anq222??n?1?；③qn?1ann?manq?；④． ?aa1m28、若?an?是等比数列，且m?n?p?q（m、，则am?an?ap?aq；若?an?是等比数列，且2n?p?qn、p、q??*）（n、p、q??*），则an2?ap?aq． ?na1?q?1??29、等比数列?an?的前n项和的公式：①Sn??a1?1?qn?a?aq．②sn1n??q?1??1?q?1?q?s1?a1(n?1)a?30、对任意的数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系：n? ?sn?sn?1(n?2)?a1?a2???an [注]： ①an?a1??n?1?d?nd??a1?d?（d可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d不为0，则是等差数列充分条件）. ②等差{an}前n项和Sn?An2?Bn???n2??a1?? - 25 - / 35 ?d??2??d?d?n →可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若d为零，则2?2