将读入的新数填入空出的位置中． （由于算法简单，可 以举例说明） 2、冒泡排序 基本思想：依次比较相邻的两个数,把大的放前面,小的放后面.即首先比较第 1 个数和第 2 个数,大数放前,小数放后.然后比较第 2 个数和第 3 个数......直到比较最后两个数.第一趟 结束,最小的一定沉到最后.重复上过程,仍从第 1 个数开始,到最后第 2 个数...... 由于在 排序过程中总是大数往前,小数往后,相当气泡上升,所以叫冒泡排序. 1.3.3 进位制 1、概念：进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数 概念：进位制 字符号的个数称为基数，基数为 n，即可称 n 进位制，简称 n 进制。现在最常用的是十进制， 通常使用 10 个阿拉伯数字 0-9 进行记数。对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表 示。比如：十进数 57，可以用二进制表示为 111001，也可以用八进制表示为 71、用十六进 制表示为 39，它们所代表的数值都是一样的。 一般地，若 k 是一个大于一的整数，那么以 k 为基数的 k 进 an an ?1...a1a0( k ) (0 < an < k , 0 ≤ an ?1 ,..., a1 , a0 < k ) ， 而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注制可以表示为：
来表示,如 111001(2)表示二进制数,34(5)表示 5 进 制数 第二章 2.1.1 简单随机抽样 统计 1．总体和样本 总体：在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体． 个体：把每个研究对象叫做个体． 总体容量：把总体中个体的总数叫做总体容量． 为了研究总体 的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分： 研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量。 ．． ．．．． 2．简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随 机地抽取调查单位。特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等） ，样本的每 个单位完全独立， 彼此间无一定的关联性和排斥性。 简单随机抽样是其它各种抽样形式的基 础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。 3．简单随机抽样常用的方法： （1）抽签法；⑵随机数表法；⑶计算机模拟法；⑷使用统计软件直接抽取。 在简单随机抽样的样本容量设计中， 主要考虑： ①总体变异情况； ②允许误差范围； ③概率保证程度。 4．抽签法: （1）给调查对象群体中的每一个对象编号； （2）准备抽签的工具，实施抽签 ， ， ， （3） 5． 例：对样本中的每一个个体进行测量或调查 例：请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。随机数表法： 利用随机数表在所在的班级中抽取 10 位同学参加某项活动。 2.1.2 系统抽样 1．系统抽样（等距抽样或机械抽样） ：把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。 第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。 K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模） 前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究 变量相关的规则分布。可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的 特点。如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距 离重合。 2．系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较低， 实施也比较简单。更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单 元按辅助变量的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。 2.1.3 分层抽样 1．分层抽样（类型抽样） ： 先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次， 然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本， 最后， 将 这些子样本合起来构成总体的样本。 两种方法： 1．先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。 2．先以分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列，最 后用系统抽样的方法抽取样本。 2．分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体 中的样本分别代表该子总体，所有的样本进而代表总体。 分层标准： （1）以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。 （2）以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分 层变量。 （3）以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。 3．分层的比例问题： （1）按比例分层抽样：根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取 子样本的方法。 （2）不按比例分层抽样：有的层次在总体中的比重太小，其样本量就会非常少，此时采 用该方法， 主要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。 如果要用样本资 料推断总体时，则需要先对各层的数据资料进行加权处理，调整样本中各层的比例，使数据 恢复到总体中各层实际的比例结构。 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 1、本均值： x = x1 + x 2 + L + x n n 2、 ．样本标准差： s = s2 = ( x1 ? x) 2 + ( x 2 ? x) 2 + L + ( x n ? x) 2 n 3．用样本估计总体时，如果抽样的方 法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样 本得到的信息会有偏差。在随机抽样中，这种偏差是不可避免的。虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、 均值和标准差，而只是一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本量很大时， 它们确实反映了总体的信息。 4． （1）如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变 （2）如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数 k，标准差变为原来的 k 倍 （3）一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，区间 ( x ? 3s, x + 3s ) 的应用； “去掉一个最高分，去掉一个最低分”中的科学道理 2.3.2 两个变量的线性相关 1、概念: （1）回归直线方程 （2）回归系数 2．最小二乘法 3．直线回归方程的应用 （1）描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存 的
- 16 - / 35
数量关系 （2）利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量 x）代入回归方程对预报量（即 因变量 Y）进行估计，即可得到个体 Y 值的容许区间。 （3）利用回归方程进行统计控制规定 Y 值的变化，通过控制 x 的范围来实现统计控 制的目标。如已经得到了空气中 NO2 的浓度和汽车流量间的回归方程，即可 通过控制汽车流量来控制空气中 NO2 的浓度。 4．应用直线回归的注意事项 （1）做回归分析要有实际意义； （2）回归分析前,最好先作出散点图； （3）回归直线不要外延。 第三章 3.1.1 —3.1.2 随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念： 基本概念： 概 率 （1）必然事件：在条件 S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件 S 的必然事件； （2）不可能事件：在条件 S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件 S 的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件； （4）随机事件：在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件 S 的随机事件； （5）频数与频率：在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试 验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数；称事件 A 出现的比例 nA fn(A)= n 为事件 A 出现的概率：对于给定的随机事件 A，如果随着 试验次数的增加， 事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上， 把这个常数记作 P （A） ， 称为事件 A 的概率。（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数 nA 与试验总次数 n nA 的比值 n ，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率， 概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。 频率在大量重复试验的前 提下可以近似地作为这个事件的概率 3.1.3 概率的基本性质 1、基本概念： （1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件 （2）若 A∩B 为不可能事件，即 A∩B=ф，那么称事件 A 与事件 B 互斥； （3）若 A∩B 为不可能事件，A∪B 为必然事件，那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件； （4）当事件 A 与 B 互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件 A 与 B 为对立 事件，则 A∪B 为必然事件，所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有 P(A)=1— P(B) 2、概率的基本性质： 1）必然事件概率为 1，不可能事件概率为 0，因此 0≤P(A)≤1； 2）当事件 A 与 B 互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)； 3）若事件 A 与 B 为对立事件，则 A∪B 为必然事件，所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于 是有 P(A)=1—P(B)； 4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件 A 与事件 B 在一次试验中不 会同时 （1） （2） （3）发生，其具体包括三种不同的情形：事件 A 发生且事件 B 不发生；事件 A 不发生且事件 B 发生；事件 A 与事件 B 同时不发生，而对立事件是指事件 A 与 事件 B 有且仅有一个发生，其包括两种情形； （1）事件 A 发生 B 不发生； （2）事件 B 发 生事件 A 不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。 3.2.1 —3.2.2 古典概型及随机数的产生 1、 （1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。 （2）古典概型的解题步骤； ①求出总的基本事件数； A包含的基本事件数 ②求出事件 A 所包含的基本事件数，然后利用公式 P（A）= 总的基本事件个数 3.3.1—3.3.2 几何概型及均匀随机数的产生 — 1、基本概念： （1） 几何概率模型： 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 （面积或体积） 成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型； （2）几何概型的概率公式： 构成事件A的区域长度（面积或体积） ； P（A）= 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每 个基本事件出现的可能性相等．
高中数学必修4知识点总结
第一章 三角函数（初等函数二）
?正角:按逆时针方向旋转形成的角?1、任意角?负角:按顺时针方向旋转形成的角
?零角:不作任何旋转形成的角?2、角?的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称?为第几象限角．
?第二象限角的集合为??k?360?90?第一象限角的集合为?k?360????k?360??90?,k??
???k?360??180?,k??
? - 17 - / 35
??第四象限角的集合为??k?360?270???k?360?360,k??? 终边在x轴上的角的集合为????k?180,k???
终边在y轴上的角的集合为????k?180?90,k??? 终边在坐标轴上的角的集合为????k?90,k???
3、与角?终边相同的角的集合为????k?360??,k???
第三象限角的集合为?k?360??180????k?360??270?,k??
?????????4、已知?是第几象限角，确定
??n???所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再从x轴的正半轴n*的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则?原来是第几象限对应的标号即为域．
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．
6、半径为r的圆的圆心角?所对弧的长为l，则角?的弧度数的绝对值是??l． r?终边所落在的区n?180?7、弧度制与角度制的换算公式：2??360?，1??，1???57.3?． ?180???8、若扇形的圆心角为???为弧度制?，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则l?r?，C?2r?l，
11S?lr??r2．
22??9、设?是一个任意大小的角，?的终边上任意一点?的坐标是?x,y?，它与原点的距离是
yxy，cos??，tan???x?0?． rrx10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
11、三角函数线：sin????，cos????，tan????．
rr?x2?y2?0，则sin????12、同角三角函数的基本关系：?1?sin??cos??1
22yPTOMAx?sin2??1?cos2?,cos2??1?sin2??；?2?sin???sin??tan?cos?,cos????．
tan???sin??tan? cos?13、三角函数的诱导公式：
?1?sin?2k?????sin?，cos?2k?????cos?，tan?2k?????tan??k???． ?2?sin???????sin?，cos???????cos?，tan??????tan?． ?3?sin??????sin?，cos?????cos?，tan??????tan?．
- 18 - / 35
?4?sin??????sin?，cos???????cos?，tan???????tan?．
口诀：函数名称不变，符号看象限．
?5?sin??????????cos?，cos?????sin?． ?2??2?????????cos?，cos??????sin?． ?2??2???6?sin???口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．
14、函数y?sinx的图象上所有点向左（右）平移?个单位长度，得到函数y?sin?x???的图象；再将函数y?sin?x???的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1?倍（纵坐标不变），得到函数
y?sin??x???的图象；再将函数y?sin??x???的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的?倍（横坐标不变），得到函数y??sin??x???的图象． 函数y?sinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1?倍（纵坐标不变），得到函数
y?sin?x的图象；再将函数y?sin?x的图象上所有点向左（右）平移
?个单位长度，得到函数?y?sin??x???的图象；再将函数y?sin??x???的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的?倍（横坐标不变），得到函数y??sin??x???的图象． 函数y??sin??x??????0,??0?的性质： ①振幅：?；②周期：??2??；③频率：f?1??；④相位：?x??；⑤初相：?． ?2?函数y??sin??x?????，当x?x1时，取得最小值为ymin ；当x?x2时，取得最大值为ymax，则
11??ymax?ymin?，???ymax?ymin?，?x2?x1?x1?x2?． 22215、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： 函 y?cosx y?sinx 数 性 ??质 y?tanx 图象 定义域 值域 - 19 - / 35
R R ???xx?k??,k???? 2??R ??1,1? ??1,1? 当x?2k???2?k???时，当x?2k??k???时， 既无最大值也无最小值 最y?1；当x?2k??? y?1；当x?2k??? maxmax2值 ?k???时，ymin??1． 周期性 奇偶性 2? ?k???时，ymin??1． 2? ? 奇函数 偶函数 奇函数 ????在?2k??,2k??? 22??单调?3??性 ? 2k??,2k????22???k???上是增函数；在 在?2k???,2k???k???上是增函数；在?2k?,2k???? ????在?k??,k??? 22???k???上是减函数． ?k???上是增函数． ?k???上是减函数． 对?称对称轴x?k???k??? 性 2
对称中心?k?,0??k??? ???对称中心?k??,0??k??? 2??对称轴x?k??k??? ?k??对称中心?,0??k??? ?2?无对称轴 第二章 平面向量
16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量．
单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．
- 20 - / 35