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第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案
一、单项选择题
1．下面函数与y?x为同一函数的是（ ） A.y?∴选C
4．下列函数在???,???内无界的是（ ）
A.y?1 B.y?arctanx 21?x?x? B.y?2C.y?sinx?cosx D.y?xsinx
解: 排除法：A
x2 C.y?elnx D.y?lnex
解：?y?lnex?xlne?x，且定义域
xx1有界，??21?x2x2Barctanx??2有界，C sinx?cosx?2
???,???， ∴选D
2．已知?是f的反函数，则f?2x?的反函数是（ ）
故选D 5．数列?xn?有界是limxn存在的（ ）
n??A 必要条件 B 充分条件
C 充分必要条件 D 无关条件 解：??xn?收敛时，数列xn有界（即，反之不成立，（如??1?xn?M）
1A.y???x? B.y?2??x?
21C.y???2x? D.y?2??2x?
21解:令y?f?2x?,反解出x：x???y?,互
21换x，y位置得反函数y???x?，选A
23．设f?x?在???,???有定义，则下列函数为奇函数的是（ ）
?n?1?有界，
但不收敛，
选A 6．当n??时，sin则k= （ ）
211与k为等价无穷小，nnA.y?f?x??f??x?B.y?x??f?x??f??x??? C.y?x3f?x2?
1 B 1 C 2 D -2 211sin22nnlim?lim?1，k?2 选C 解：?n??n??11nknk A
二、填空题（每小题4分，共24分） 7．设f?x??为
解： ∵f??f?x????1?fx???1
D.y?f??x??f?x?
32解：?y?xfx的定义域???,???且
1，则f??f?x???的定义域1?x??1111?1?x
y??x????x?f?x2???x3f?x2???y?x?3
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x??1?1?x 2?x∴f??f?x???定义域为
解：?当n??时，sin22～ ∴原式nn(??,?2)?(?2,?1)?(?1,??)
8．设f(x?2)?x2?1, 则f(x?1)?
解：（1）令x?2?t,f?t??t?4t?5
23n2?526?= =limn??5n?3n5三、计算题（每小题8分，共64分）
arcsin13．求函数y?2x?17的定义域 x?1f?x??x2?4x?5
（2）f?x?1??(x?1)?4(x?1)?5?x?6x?10
229．函数y?log4x?log42的反函数是
2y?1??1?2x?1?1??3?x?4 7解：???x?1或x??1x?1?0???解：（1）y?log4(2x)，反解出x：x?4（2）互换x,y位置，得反函数y?42x?1 10．limnn??
∴函数的定义域为??3,?1)?1,4? 14．设f?sin
??n?1?n?2? lim3nn?1?n?2?3???x???1?cosx 求f?x? 2?解：原式
有理化n??
?x?22解：?sin??2cos?f?5?lim1??11．若n????n?则k?
?kn?2?x?2?1?sin2x?
?2?2???e,
?e?5k?e?10
故
?10?f1????2????2?
?2 故f?x??21?x
??lim5(?kn)解：左式=en??n15．设f?x??lnx，g?x?的反函数
k?2
3n2?52sin= 12．limn??5n?3n
2
g?1?x??2?x?1?，求f?g?x?? x?1专业精神 诚信教育 同方专转本高等数学内部教材 严禁翻印
解: （1） 求g(x):?y?2x?2 ∴反
x?1y?2
y?2互换x,y位置得g(x)?x?2
x?2 (2)f?g?x???lng?x??lnx?2
??x?2解出x：xy?y?2x?2x?16．判别f?x??lnx?1?x2的奇偶性。 解法（1）：f?x?的定义域???,???，关于原点对称
???1??2? x?111? ??????2?得2f?x??x?1x?11故 f(x)?2
x?111?????2?得2g?x??x?1?x?1
x故g(x)?2
x?1f(x)?g(x)?18．设lim??n?2a???8，求a的值。 n???n?a?3a??n?2a???lim1????n??n???n?a??n?a?3nn3n3?f??x??ln??x??ln1?x2
?11?x2 ?x解： ?lim?
?lnx?1?x2???1??ln(x?1?x2)
?enan??n?alim?ea,?ea?8
n故a?ln8?3ln2
??f?x?
?f?x??ln(x?1?x2)为奇函数
解法（2）：?f?x??f??x?
?1?1119．求lim? ??????n???1?22?3n?n?1???解：（1）拆项，
1k?1?k?
k(k?1)(k?1)k?ln(x?1?x2)?ln?x?1?x2
?ln?(x?1?x2)?????11?k?1,2,?,n kk?1?1?x2?x??ln1?0
????f??x???f?x? 故f?x?为奇函数
17．已知f?x?为偶函数，g?x?为奇函数，
111???? 1?22?3n?n?1?1??1??11??1??1??????????? ?2??23??nn?1??1?1，求f?x?及g?x? x?11???? 解： 已知f(x)?g(x)?x?11?f(?x)?g(?x)?即有
?x?1且f?x??g?x??
3
1 n?1n?nlim1??n??n?1（2）原式=lim?1??e?e?1 ?n???n?1?专业精神 诚信教育 同方专转本高等数学内部教材 严禁翻印
20．设f?x??ax?a?0,a?1?, 求lim（3）讨论f3?x?的有界性
1ln??f?1??f?2??f?n??? n??n2?f3?x??x1?3x2?x3x?13
解： 原式=lim112nlna?a?a??
n??n2?f3?x?有界
22．从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形，把留下的中心角为?的扇形做成一个漏斗（如图），试将漏斗的容积V表示成中心角?的函数。
解：（1）列出函数关系式，设漏斗高为h，底半径为r，依题意：漏斗容积V=?rh
1?lim2?lna?2lna???nlna? n??n?lna?lim1?2???n
n??n2(n?1)n
n??n2?2?lna?lim132?1lna?a?0,a?1? 2x1?x2?h?R2?r2,2?r?R? R2??R2??2 ?r?h?R?224?4?2四、综合题（每小题10分，共20分） 21．设f?x?=，求f3?x?=
4?2????R2??故V? ?R234?2?ff??f?x???并讨论f3?x?的奇偶性与有
界性。
解：（1）求f3?x?
?f?x??x1?x2???R3???4?2??? 324?（2）函数的定义域
?f2?x??f?x?1?f2?4?2??2?0,?2??2???x1?2x22
?x???0??????
R3??4?2????0?????? 故V?224?五、证明题（每小题9分，共18分） 23．设f?x?为定义在???,???的任意函数，证明f?x?可表示为一个偶函数与一个奇函数之和。
4
f3?x??f??f2?x????f2?x?1?f22?x??x1?3x2 （2）讨论f3?x?的奇偶性
?f3??x???x1?3x2??f3?x?
?f3?x?为奇函数
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证：(1) f?x??f?x??f??x?2?f?x??f??x?2
?2??2??1?:f?x??4f?x??x?x2?22?x2?3f?x??,f?x??
x3x2x
(2)令g?x??f?x??f??x?????x????
2（3）?f?x?的定义域???,0???0,???
?g??x??f??x??f?x?2?g?x?
?g?x?为偶函数
f?x??f??x?(3)令??x??????x????
2????x??f??x??f?x?????x?
22?x2??f?x? 又?f??x???3x?f?x?为奇函数
＊选做题
1已知12?22???n2?n(n?1)(2n?1)，
6???x?为奇函数
（4）综上所述：f?x??g?x?偶函数+??x?奇函数
?1222n2?求lim?3?3???3? n??n?1n?2n?n??12?22???n2解: ?
n3?n?1?24 设f?x?满足函数方程2f?x?+f??
?x?=
12n212?22???n2?3???3?n?1n?nn3?112?22???n2且lim n??n3?n?limn?n?1?(2n?1)6?n3?n??1 3
1，证明f?x?为奇函数。 x?1?1证：（1）?2f?x??f??????1?
?x?x1令?t,2fx的记号无关
n???1????f?t??t ?函数与自变量?t?12?22???n2limn??n3?1?limn(n?1)(2n?1)1? 3n??6(n?1)3?1??2f???f?x??x???2?
?x?1?（2）消去f???，求出f?x? ?x?
5
1 32 若对于任意的x,y，函数满足：
∴由夹逼定理知，原式?