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1y?(0)??
720．已知f??x??解得x?x0?x0y0,
x0y0 dy1?x?1?，求 ,y?f??dxx?x?1?令x?0，y?y0?解得y?y0?解：（1）y??f???x?1??x?1???x?1? ??2?x?1??x?1?x0y0
（3）证明两截距之和为a（即x?y?a）
??2?x?1?2?x?1?f???
x?1??1 xx?y?x0?y0+2x0y0 ?????x0??2?y02?2(2)?f??x???2x0y0?
??2??x?1?x?1 ?f????x?1x?1???x0?y0???a??a
证毕
五、综合题（每小题10分，共30分） 22．若曲线y?x2?ax?b与2y??1?xy3在点?1,?1?相切，求常数a,b。 解：（1）求两曲线的斜率
在y?x?ax?b上，y??2x?a,y??1??2?a
2dy?2x?1?2 ??22dx?x?1?x?1x?1四、证明题（本题8分） 21．证明抛物线x?y?a任一点处的切线所截两坐标轴的截距之和等于a。 证：（1）求切线方程：设切点坐标为?x0,y0?
在y??1?xy上，2y??y?3xyy?,y??1??1
332?12x?12yy??0，y???y0 x0y x2）求a,b之值：依题意，?两曲线在点?1,?1?相切，
?y??x0????2?a?1,a??1,
又?点?1,?1?在曲线y?x?x?b上
2故有切线方程：
yy?y0??0?x?x0?
x0（2）求截距： 令y?0，?y0????1?12?1?b,b??1
23．设y?f?x?单调，且二阶可导，求
dx及dyy0?x?x0? x021
d2xf??x??0? 2?dy
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解：（1）
dx11 ??dy?dyf?x?dx(2)∵f?0??0?cosf?0??1,sinf?0??0（3）y??0??cosf?0??f??0??cosf?0??f??0?
1d2x?dx?d（2）= ?2?dydyf?x?dy1d1dx0?f???x???= ?2??fxdxf?x?dy?f??x????????f???x???f??x???3???cosf?0??????f??0??????f??0???
2．设f?x?有任意阶导数，且
(n)f??x????f?x???，求f?x?
2222
解：∵f??x??f2?x?
324．设y?arctan1?x，求y?? 1?x∴f???x??2f?x?f??x??2f?x?
dx?解：（1）dy(1?x)2?1?x??? 2?1?x??1?x??1????1?x?12f????x??2?3f2?x?f??x??2?3f4?x?,???
f?n??x??n!fn?1?x?
3．设f?x?可导且f?x??0， 证明
?(1?x)2??1?x???(1?x)??1?x?(1?x)2??2?1? 222(1?x)(1?x)f??x?d lnf?x??dxf?x?解：（1）当f(x)?0时
?2?1? (2)y????1?1?x?????? ?1?x选做题
?2?2??2x?2xdd1lnf?x??lnf?x??f??x? dxdxf?x?
（2）当f?x??0时：
?1?x?22inx1．设f可导，y?sinf????s??且f(0)?0，求y?(0)
解：（1）y??cosf??sinf?x???
??ddlnf?x??ln??f?x?? ??dxdx???f??x?f?x??f??x?f?x?
??（3）综上所述：
?f???sinf?x????cosf?x??f??x?
22
f??x?d lnf?x??dxf?x?