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解：（1）?f?x?在x?0连续，
?3xlim?0??ax?bx2?cx?d??d xlim?0??x2?x??0,f?0??0 故d?0??1?
（2）?f?x?在x?0可导
?limx2f?x???0?x?0?x?1,
fax3?bx2?cx???0??limx?0x?c
故有c?1??2?
（3）?f?x?在x?1连续，
?lim32x?1??ax?bx?x??f?1? 即a?b?1?f?1??0
?a?b?1?0??3?
（4）?f?x?在x?0可导：
?f?1??limx2?x??x?1?x?1?1
f??limax3?bx2?x???1x?1?x?1
??0??0??xlim?1??3ax2?2bx?1? ?3a?2b?1
故有3a?2b?0??4? 由（3）（4）解得a?2,b??3 答：a?2,b??3,c?1,d?0 五、证明题（每小题9分，共18分） 23． 证明x4?2x?4?0在区间??2,2?内至
少有两个实根。
证：（1）?f(x)在??2,0?连续， 且f?0???4?0,f??2??16?0
?由零点定理知，
f(x)=0在??2,0?上至少有一个实根。
（2）?f(x)在?0,2?连续,且
f?0???4?0,f?2??16?4?8?0 ?由零点定理知，
f(x)=0在?0,2?上至少有一个实根
（3）综上所述，f(x)=0在??2,2?上至少有两个实根
?u124． 设f?x????xsin,x?0?x，证明（1）?0,x?0当u?0时f?x?在x?0连续，当u?1时，
f?x?在x?0可导
解：（1）?limxu1u?0时x?0sinx0
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?1uu?0?sin?1,limx0? ?x?0x??第四讲：导数与微分的计算方法的强化练习题答案
一、单项选择题（每小题4分，共24分）
2421．设fx?x?x?1,则f??1??( )
?当u?0时，f?x?在x?0连续 1x?limxu?1sin1u?1时0 (2)?limx?0x?0x?1xxusin?1u?1u?1??sin?1,limx0? ?x?0x??当u?1时，f?x?在x?0可导 总之，当u?0时，f?x?在x?0连续 当u?1时，f?x?在x?0可导 选做题
设对于任意的x，函数满足f?1?x??
??A ．1 B ．3 C． -1 D． -3 解：（1）?fx????x?222?x2?1
?f?x??x2?x?1
(2) f??x??2x?1,f???1???2?1??1 选C
222．设f?x??xx?1???x2?22?
22 ?x?n,则f??0?? （ ） 2A ．(n!)2 B． ??1?(n!)
n??af?x?且f??0??b,证明f??1??a?b
证：（1）令x?0，f?1?0? ?af?0?，即
C． n! D． ??1?n!
22解： 令g?x??x?1nf?1??af?0?
(2) f??1??limx?0???x2?22???x2?n2?
f?1?x??f?1?xf?x??x?g(x)
f??x??g?x??xg??x?
f??0??g?0??0???1???2? ????n????1?2n22?limx?0af?x??af?0?x?af??0??a?b
证毕
?n!?2
选B
注：本题用导数定义计算更方便！ 3．设f?x??ln?1?x?，则fA ．
?5??x?= ( )
54!?1?x?5 B ．
?4!?1?x?
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C．
5!?1?x?5 D．
?5!?1?x?5
（2）?f??x??f?x?,
解：f??x???1?x?,
?1?f???x????1??f??x? ?f??0??f??0?得f??0??0
f???x???1?1?x?, f????x????1???2??1?x? f?4??x????1???2???3??1?x?,
?4?3?2（3）g????????f?0??0 选A 2??6．设f?x?在x?1有连续导数，且f??1??2,
?5f(5)?x????1???2???3???4??1?x?则lim?x?0dfcosx? ( ) dx???4!(1?x)?5 选A
4．设y?f?x?由方程e2x?yA． 1 B． -1 C． 2 D ．-2
?cos?xy??e?1解：
dfcosx dx??所确定，则曲线y?f?x?在点（0，1）的切线斜率f?(0)= ( )
A ．2 B． -2 C ．
?f?cosx??sinx?????12x 11 D． - 222x?y(2)原式?lim?x?0?sinx2xf?cosx
???解：e?2?y???sin?xy???y?xy???0
?1f??1???1 2e??2?y??0???0?0,y??0??f??0???2
选B
5． 设f?x?为可导偶函数，且g?x??f?cosx?，则g'?选B
二、填空题（每小题4分，共24分）
t??x?esint7．若?， ?ty?ecost??????? （ ） ?2?d2y则2? dxdy?e?tcost?e?tsint?2t?e(?1) 解：（1）?ttdxesint?ecostd2ydy?dy?dx?2e?3t???(2) dx2dxdtdtsint?cost18
A． 0 B ．1 C ．-1 D． 2 解：（1）g??x??f??cosx???cosx??
?f??cosx????sinx?
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8．设f?x??1?lnx，
2n则 f???0?= 则f??e?=
解：f??x??na0xn?1?(n?1)a1xn?2
11lnxxx?解：(1)f??x?? 2221?lnx1?lnx2lnx???an?1??
f?n??x??n?n?1???a0xn?n ?n!a0,f?n??0??n!a0
三、计算题（每小题8分，共64分） 13 ．设y?ln112（2）f??e?? ?e2e29． 直线l与x轴平行，且与曲线y?x?ex相切，则切点坐标是
1?x?1，求dy。
1?x?1??1?e,ye??0?e?1?0 解：?y曲故有切点坐标?0,?1?
10．y?f?x?由方程x?y?sinx?6y?033xx解： (1)y?ln(1?x?1)?ln?1?x?1
?(2)y??1111?x?121?x1? 确定，则dy?x?0? 解：当x?0时，y3?6y?0得y?0
?1x1?x1?x?121?x
（3）dy?1dx
x1?xx?4?x2，求y?及y??。 23x2?3y2?y??cosx?6y??0
y??0??11?x?0?y??0?dx?dx ，dy6614．设y?xarcsin1?ex11．设y?ln， x1?e则dy? 解：y?解：(1) y??arcsinx?x212?x?1????2?2
11ln?1?ex??ln?1?ex? 221xexx1?ee y???2x?2xx21?e1?ee?1nn?1??2x24?x2x?arcsinxx? 224?x?x?arcsin
24?x212．设f?x??a0x?a1x
???an?1x?a0，
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x???(2)y????arcsin?
2????x?????2??x?1????2?2?14?x2 15．方程sin?xy??lnx?1?1确定y?y?x?，y1dy1?2dy1?tdt??12t?t 解：（1）
dxdx21?t2dtdy?2t??1?t2?dydy?dt(2)2? ???dxtdxdxtdt1?t21?x?n?18． 设y?，求y
1?x?1?x?22??1?解：（1）变形，y?
1?x1?x（2）y??2??1??1?x?
?2求
dy?x?0 dx11解：(1)cos?xy??(y?xy?)??y??=0
x?1y（2） 当x?0时，0?lny?1?y?e
y???2??1???2??1?x?
y????2??1???2??1?x???
?4?31（3）cos?0?e??(e?0)?1?y?(0)?0
e1e?1?y?(0) ，y?(0)?e(e?1)
e16．设 y?x?sinx?coxsny???2??1?n!?1?x?n?n?1
19． 设y?y?x?
22由方程Fx?y?F?x?y??y?0所确
??，求y?
定，其中F可导，且
解：（1）lny?lnx?cosxlnsinx
1dy
F??2??,F?(4)?1,y?0??2，求?x?0
2dx
22解：（1）F?x?y??2x?2yy??
11cosx(2)y???sinx?lnsinx?cosx
yxsinx??y??x?sinx?cosx?1cos2x???sinxlnsinx???（2）当x?0时，y?2 ?xsinx???F??x?y??1?y???y??0
??x?ln1?t217 ．设?，确定y?y?x?，
??y?t?arctant（3）F??4???4y?(0)??F?(2)?1?y?(0)? ?y?(0)?0
d2y求2。 dx
20
4y?(0)?1?1?y?(0)??y?(0)?0 2