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f?x?y??f?x??f?y?，证明f?y?为奇
函数。
解 (1)求f?0?：令
注：B:??,C:2,D:1
3． 若limf?x???，limg?x???，则
x?x0x?x0下列正确的是 （ ） A． lim??f?x??g?x?????
x?x0x?0,y?0,f?0??2f?0??f?0??0
(2)令x??y:f?0??f??y??f?y??f??y???f?y?
B． lim?f?x??g?x????? x?x0?C． limx?x0?f?y?为奇函数
1 ?0f?x??g?x?第二讲：函数的极限与洛必达法则的强化练习题答案
一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1． 下列极限正确的（ ） A． lim在
D． limkf?x????k?0?
x?x0解：?limkf?x??klimf?x??k??x?x0x?x0k?0?
sinxx?sinx?1 B． lim不存
x??x??xx?sinx?选D
4．若limx?01?C． limxsin?1 D． limarctanx?
x??x??x2f?2x??2， x1?tx1sintlim解：?limxsin ?选C
x??t?0xt则limx?0x? （ ）
f?3x?11 C．2 D． 32A．3 B．
sinxsinxx?1?0?1 ?0;Blim注：Alimx??xx??sinx1?01?x1?2． 下列极限正确的是（ ）
2tx3x?2t3lim解：lim x?0f?3x?t?0f?2t??21211lim??? 3t?0f?2t?323te?0 B． lim?e?0 A． lim?x?0x?01x1xC． lim(1?cosx)x?0secx?e
?选B
1xD． lim(?x??1x)?e
??e?e解：?lim?x?01x?1?0 ?选A e?6
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??1xsinx(x?0)?5．设f?x????0(x?0)且lim??xsin1?a(x?0)x?0f?x??x?存在，则a= （ ） A．-1 B．0 C．1 D．2 解：?limsinxx?0?x?1, xlim???0?????xsin1?x????a???o?a ?a?1 选C
6．当x?0?时，f?x??1?xa?1是比x高阶无穷小，则 （ ）
A．a?1 B．a?0 C．a为任意实数 D．a?1a1xa解：lim1?x?12a?1x?0?x?limx?0?x0?a?1 故选A
二 、填空题（每小题4分，共24分）
x7．lim?x???x??1?x??? ?x解：原式
1lim?lim?x?1?1?1??ex??1?xx???x???e?1 8．lim?x?1?1?x?1?2?x2?1??? 解：原式
?????limx?1?2x?1?x?1??x?1? ?lim11x?1x?1?2
39．lim?2x?1??3x?2?97x???3x?1?100? ????解：原式
????397lim?x???2x?1??3x?1???lim?3x?2?x????3x?1?? ??3?2?8?3???27 10．已知limx2?ax?6x?11?x存在，
则a= 解：?limx?1?1?x??0
?limx?1?x2?ax?6??0
1?a?6?0,a??7
11．lim?1x?0???exsin1arcsinx?x2?x??? 解：?sin111x1x?1,limx?0?e?0?limx2x?0esinx2?0又?limarcsinxxx?0x?limx?0x?1 故 原式=1
12．若limx2ln?1?x2?x?0sinnx?0
且limsinnxx?01?cosx?0,则正整数n= 解：?limx2ln?1?x2?x?0limx2?x2sinnx?x?0xn 7
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n?40,limxn?20?n?2,n?4, 故2n原式?lim?cost?sin2t?t?01t x?0x2n?3
三、计算题（每小题8分，共64分）
13．求limsin3x?2xx??sin2x?3x
sin3x?2解： 原式=limsinxx??2x
x?3?limsin3xx??x?0??1??sin3x?1,limx??x?0??
limsin2xx??x?0???sin2x?1,lim1?x??x?0??
?原式?0?20?3??23 14．求lim1?tanx?1?sinxx?0x?1?cosx?
解：原式
有理化
limtanx?sinxx?0x(1?cosx)(1?tanx?1?sinx) ?limtanx(1?cosx)x?0x(1?cosx)?12
?limtanxx??x?12?1x12limx?0x?2
15．求lim?21xx????sinx?cos?x??
解：令
1x?t，当x??时，t?0
1?limt?0?1?cost?1?sin2t?t
???cost?1?sin2telimt?0t?e2
16．求limlncos2xx?0lncos3x
解：原式
变形limln?1?cos2x?1?x?0ln?1?cos3x?1?
等价limcos2x?1x?0cos3x?1
?1等价2x2lim2??x?0?4 ?1292?3x?????注:原式
????lim?2sin2xx?0cos2x?cos3x?3sin3x ????49 ex17．求lim?e?x?2xx?0x?sinx
0?x 解： 原式
0limex?e?2x?01?cosx 000ex?e?x0xlime?e?xx?0sinxlimx?0cosx?2 8
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??1x????ex?a,x?018．设f???1?cosx且limx?0f?x???x,x?0存在，求a的值。
解：?xlim??0??e?1x?a???e???a?0?a?a
??x21?cosx2xlim?0?x?limx?0?x1?lim2??x?x?0?x??22 ?a??22 119．lim?sin3x1?3lnxx?0??
解： 原式
?lim3cosx00?换底法ln(sin3x)x?0?sin3xlim3ex?0?1?3lnx?ex
?elim3xlimx1x?0?3sinx?ex?0?3x?e3
20．求lim??2?1??x???x?xln??1?x???? 1解： x?t原式
lim?1ln?t?0??1?t???tt2? ?通分limt?ln?1?t?t?0t2
??0??0??1?1lim1?tt?02t ?lim1?t?111t?02t?t?1??limt?0t?1?2
四、证明题（共18分） 21．当x??时且
limx??u?x??0,limx??v?x???,
证明lim?vlimu?x?v?x??1?x?x???u?x????ex??
证：lim?v?1?x?x???u?x???
1?lim??1u?x??u?x??v?x?x???u?x???
?exlim??u?x??v?x?
证毕
22．当x?0时，证明以下四个差函数的等价无穷小。
1）tanx?sinx等价于x3（2?x?0?
2）tanx?x等价于x3（3?x?0?
3）x?sinx等价于x3（6?x?0?
（4）arcsinx?x等价于x36?x?0?
证：?1??limtanx?sinxx?0x3
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??0??0??limtanx?1?cosx?x?0x3
2?x2x?lim2x?0x3?1 2当x?0时，tanx?sinx?x32
?22??limtanx?xx?01?limsecx?1 3x?0x23x?limtan2xx2x?0x2?limx?0x2?1 当x?0时，tanx?x?x23
?3??limx?sinx1?cosxx?01?lim3x?01 6x2x212x2?limx?01?1 22x当x?0时，x?sinx?136x
?4??limarcsinx?xx?01
6x3
1?lim1?x2?1lim1?1?x2x?01?2x?01 2x2x21?x212?lim2xx?01?1 2x2?1当x?0时，arcsinx?x等价于136x 五、综合题（每小题10分，共20分） 23．求limx???3x?9x2?12x?1?
2解： 原式
有理化lim9x??9x2?2x?1?x??3x?9x2?2x?1
?lim?2x?1x??3x?9x2?2x?1
?2?1?limx?21x?????
3?9?213?33x?x2limx224． 已知?mx?81x?2x2??2?n?x?2n?5，求常
数m,n的值。
解：（1）∵原极限存在且
limx?2??x2??2?n?x?2n???0 ?limx?2?x2?mx?8??0,4?2m?8?0
2m?12,m?6
（2）?limx2?6x?8x?2x2??2?n?x?2n
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