②∵△ABD≌△ACE，∴∠BDA=∠CEA。
∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=180°－2α。 （2）如图2，BD=kCE，90??（3）作图如下：
?2α。
90?+?2。
【考点】相似三角形的判定和性质，全等角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理和外角性质，作图（旋转变换），旋转的性质
【分析】（1）①先根据等腰三角形等角对等边的性质及三角形内角和定理得出∠DAE=∠BAC，则∠BAD=∠CAE，再根据SAS证明△ABD≌△ACE，从而得出BD=CE。
②先由全等三角形的对应角相等得出∠BDA=∠CEA，再根据三角形的外角性质即可得出
∠BMC=∠DAE=180°－2α。
（2）∵AD=ED，∠ADE=α，∴∠DAE=
同理可得：∠BAC=90??∴∠DAE=∠BAC。
∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE，即：∠BAD=∠CAE。 ∵AB=kAC，AD=kAE，∴AB：AC=AD：AE=k。
在△ABD与△ACE中，∵AB：AC=AD：AE=k，∠BDA=∠CEA，∴△ABD∽△ACE。 ∴BD：CE=AB：AC=AD：AE=k，∠BDA=∠CEA。∴BD=kCE。 ∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=90??180???ADE?=90??。
22?2。
?2。
（3）先在备用图中利用SSS作出旋转后的图形，再根据等腰三角形等角对等边的性质及三
角形内角和定理得出∠DAE=∠BAC=90???2，由AB=kAC，AD=kAE，得出AB：AC=AD：AE=k，从而证出
用心 爱心 专心 31
△ABD∽△ACE，得出∠BDA=∠CEA，然后根据三角形的外角性质即可得出∠BMC=90?+∵AD=ED，∠ADE=α，∴∠DAE=∠AED=同理可得：∠BAC=90???2：
180???ADE?=90??。
22?2。
∴∠DAE=∠BAC，即∠BAD=∠CAE。 ∵AB=kAC，AD=kAE，∴AB：AC=AD：AE=k。
在△ABD与△ACE中，∵AB：AC=AD：AE=k，∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE。 ∴∠BDA=∠CEA。
∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，∠MCD=∠CED+∠ADE=∠CED+α， ∴∠BMC=∠CED+α+∠CEA=∠AED+α=90???2+α=90?+?2。
14. （2012辽宁阜新12分）（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°． ①当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论； ②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
（2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由．
甲：AB：AC=AD：AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°； 乙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°； 丙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°．
【答案】解：（1）①结论：BD=CE，BD⊥CE。
②结论：BD=CE，BD⊥CE。理由如下：
∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD－∠DAC=∠DAE－∠DAC，即∠BAD=∠CAE。 在Rt△ABD与Rt△ACE中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAE ，AD=AE，
用心 爱心 专心 32
∴△ABD≌△ACE（SAS）。∴BD=CE。 延长BD交AC于F，交CE于H。 在△ABF与△HCF中，
∵∠ABF=∠HCF，∠AFB=∠HFC， ∴∠CHF=∠BAF=90°。∴BD⊥CE。
（2）结论：乙．AB：AC=AD：AE，∠BAC=∠DAE=90°。
【考点】全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，旋转的性质。 【分析】（1）①BD=CE，BD⊥CE。根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA；然后在△ABD和△CDF中，由三角形内角和定理可以求得∠CFD=90°，即BD⊥CF。
②BD=CE，BD⊥CE。根据全等三角形的判定定理SAS推知
△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等
∠ABF=∠ECA；作辅助线（延长BD交AC于F，交CE于H）BH构建对顶角∠ABF=∠HCF，再根据三角形内角和定理证得∠BHC=90°。
（2）根据结论①、②的证明过程知，∠BAC=∠DFC（或∠FHC=90°）时，该结论成立了，所以本
条件中的∠BAC=∠DAE≠90°不合适。
15. （2012辽宁铁岭12分）已知△ABC是等边三角形．
（1）将△ABC绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O． ①如图a，当θ=20°时，△ABD与△ACE是否全等？ （填“是”或“否”），∠BOE= 度； ②当△ABC旋转到如图b所在位置时，求∠BOE的度数；
（2）如图c，在AB和AC上分别截取点B′和C′，使AB=3AB′，AC=3AC′，连接B′C′，将△AB′C′绕点A逆时针旋转角（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O，请利用图c探索∠BOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．
【答案】解：（1）①是； 120。
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②由已知得：△ABC和△ADE是全等的等边三角形，∴AB=AD=AC=AE。 ∵△ADE是由△ABC绕点A旋转θ得到的，∴∠BAD=∠CAE=θ。 ∴△BAD≌△CAE（SAS）。∴∠ADB=∠AEC。
∵∠ADB+∠ABD+∠BAD=180°，∴∠AEC+∠ABO+∠BAD=180°。 ∵∠ABO+∠AEC+∠BAE+∠BOE=360°，∠BAE=∠BAD+∠DAE， ∴∠DAE+∠BOE=180°。
又∵∠DAE=60°，∴∠BOE=120°。
（2）当0°＜θ≤30°时，∠BOE =30°，当30°＜θ＜180°时，∠BOE=120°。
【考点】旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形和多边形内角和定理，等边三角形的性质。 【分析】（1）①∵△ADE是由△ABC绕点A旋转θ得到，∴△ABC是等边三角形。
∴AB=AD=AC=AE，∠BAD=∠CAE=20°，
在△ABD与△ACE中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，， ∴△ABD≌△ACE（SAS）。 ∵θ=20°，∴∠ABD=∠AEC=
1（180°﹣20°）=80°。 2又∵∠BAE=θ+∠BAC=20°+60°=80°，
∴在四边形ABOE中，∠BOE=360°﹣80°﹣80°﹣80°=120°。
②利用“SAS”证明△BAD和△CAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠AEC，再
利用四边形ABOE的内角和等于360°推出∠BOE+∠DAE=180°，再根据等边三角形的每一个角都是60°得到∠DAE=60°，从而得解。
（2）如图，∵AB=3AB′，AC=3AC′，∴AB?AC?3??。∴B′C′∥BC。 ABAC3∵△ABC是等边三角形，∴△AB′C′是等边三角形。 根据旋转变换的性质可得AD=AE，∠BAD=∠CAE。 在△ABD和△ACE中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）。∴∠ABD=∠ACE。
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（∠OBC+∠ACB+∠ACE）
=180°﹣（∠OBC+∠ACB+∠ABD）=180°﹣（∠ACB+∠ABC） =180°﹣（60°+60°）=60°。
当0°＜θ≤30°时，∠BOE=∠BOC=30°，
当30°＜θ＜180°时，∠BOE=180°﹣∠BOC=180°﹣60°=120°。
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16. （2012辽宁本溪12分）已知，在△ABC中，AB=AC。过A点的直线a从与边AC重合的位置开始绕点A按顺时针方向旋转角?，直线a交BC边于点P（点P不与点B、点C重合），△BMN的边MN始终在直线a上（点M在点N的上方），且BM=BN，连接CN。 （1）当∠BAC=∠MBN=90°时，
①如图a，当?=45°时，∠ANC的度数为_______；
②如图b，当?≠45°时，①中的结论是否发生变化？说明理由；
（2）如图c，当∠BAC=∠MBN≠90°时，请直接写出∠ANC与∠BAC之间的数量关系，不必证明。
【答案】解：（1）①45。
②不变。理由如下
过B、C分别作BD⊥AP于点D，CE⊥AP于点E。 ∵∠BAC =90°，∴∠BAD＋∠EAC=90°。
∵BD⊥AP，∴∠ADB =90°。∴∠ABD＋∠BAD=90°。 ∴∠ABD=∠EAC。
又∵AB=AC，∠ADB =∠CEA=90°，∴△ADB≌△CEA（AAS）。 ∴AD=EC，BD=AE。
∵BD是等腰直角三角形NBM斜边上的高，
∴BD=DN，∠BND=45°。
∴BN=BD=AE。∴DN－DE=AE－DE，即NE=AD=EC。
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