∵∠NEC =90°，∴∠ANC =45°。 （3）∠ANC =90°－
1∠BAC。 2【考点】等腰（直角）三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，圆周角定理。 【分析】（1）①∵BM=BN，∠MBN=90°，∴∠BMN=∠BNM=45°。 又∵∠CAN=45°，∴∠BMN=∠CAN。
又∵AB=AC，AN=AN，∴△BMN≌△CAN（SAS）。∴∠ANC=∠BNM=45°。
②过B、C分别作BD⊥AP于点D，CE⊥AP于点E。通过证明△ADB≌△CEA从而证明△CEN是等腰直角三角形即可。
（2）如图，由已知得：
∠θ=180－2∠ABC－∠1（∵AB=AC）
=180－∠2－∠6－∠1（∵∠BAC=∠MBN，BM=BN） =（180－∠2－∠1）－∠6
=∠3＋∠4＋∠5－∠6（三角形内角和定理） =∠6＋∠5－∠6=∠5（∠3＋∠4=∠ABC=∠6）。 ∴点A、B、N、C四点共圆。 ∴∠ANC =∠ABC ==90°－
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0
1∠BAC。 217. （2012四川南充8分）在Rt△POQ中，OP=OQ=4,M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与⊿POQ的两直角边分别交于点A、B， (1)求证：MA=MB
(2)连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在。请说明理由。
【答案】解：（1）证明：连接OM 。
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∵ Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点， ∴PQ=42，OM=PM=
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PQ=22，∠POM=∠BOM=∠P=45 。 2∵∠PMA+∠AMO=∠OMB+∠AMO，∴∠PMA=∠OMB。 ∴△PMA≌△OMB（ASA）。∴ MA=MB。 (2) △AOB的周长存在最小值。理由如下:
∵△PMA≌△OMB ，∴ PA=OB。 ∴OA+OB=OA+PA=OP=4。 令OA=x， AB=y，则y=x+(4-x)=2x-8x+16=2(x-2)+8≥8。 ∴当x=2时y有最小值8，从而 y的最小值为22。 ∴△AOB的周长存在最小值，其最小值是4+22。
【考点】直角三角形斜边上的中线性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值。 【分析】（1）连接OM，证△PMA和△OMB全等即可。
(2) 先计算出∴OP=OA+OB=OA+PA=4，再令OA=x，AB=y，则在Rt⊿AOB中，利用勾股定理得
y=x+(4-x)=2x-8x+16=2(x-2)+8求出最值即可。
18. （2012辽宁本溪14分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点B（－1，0）、C（3，0），交y轴于点A，将线段OB绕点O顺时针旋转90°，点B的对应点为点M，过点A的直线与x轴交于点D（4,0）．直角梯形EFGH的上底EF与线段CD重合，∠FEH=90°，EF∥HG,EF=EH=1。直角梯形EFGH从点D开始，沿射线DA方向匀速运动，运动的速度为1个长度单位/秒，在运动过程中腰FG与直线AD始终重合，设运动时间为t秒。
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当t为何值时，以M、O、H、E为顶点的四边形是特殊的平行四边形；
（3）作点A关于抛物线对称轴的对称点A′，直线HG与对称轴交于点K，当t为何值时，以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形。请直接写出符合条件的t值。
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【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点B（－1,0）、C（3,0）,
∴??a-b+3=0?a=-1，解得，?。
?9a+3b+3=0?b=2∴抛物线的解析式为y=－x2+2x+3。
（2）当直角梯形EFGH运动到E′F′G′H′时，过点F′作F′N⊥x轴于点N，延长E′ H’
交x轴于点P。
∵点M是点B绕O点顺时针旋转90°得到的， ∴点M的坐标为（0，1）。 ∵点A是抛物线与y轴的交点， ∴点A的坐标为（3，0）。 ∵OA=3，OD=4，∴AD=5。 ∵E′ H′∥OM，E′ H′=OM=1，
∴四边形E′H′ OM是平行四边形（当E′ H′不与y轴重合时）。 ∵F′N∥y轴，N G′∥x轴，∴△F′N D∽△AOD。∴
F?NNDF?D。 ??AOODAD ∵直角梯形E′F′G′H′是直角梯形EFGH沿射线DA方向平移得到的，
F?NNDt3t4t??。∴F?N?，ND?。 345554t4t ∵E′F′=PN=1，∴OP=OD－PN－ND=4－1－=3－。
553t3t ∵E′P=F?N?，E′H′=1，∴H′P=－1。
55 ∴F′D=t，∴
若平行四边形E′H′ OM是矩形，则∠MO H′=90，此时H′G′与x轴重合。 ∵F′D=t，∴F?N?0
3t5=1，即t=。 53 即当t=秒时，平行四边形EHOM是矩形。 若平行四边形E′H′ OM是菱形，则O H′=1。
534t??3t?? 在Rt△H′OP中，OP?H?P?O H?，即?3?????1??12
5??5??22222 得t2?6t?9=0，解得t1=t2=3。 即当t=3秒时，平行四边形EHOM是菱形。
综上所述，当t=秒时，平行四边形EHOM是矩形，当t=3秒时，平行四边形EHOM是菱
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53形。
（3）t=3595秒或t=秒。 1212【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直角梯形的性质，平移的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形、矩形和菱形的判定。
【分析】（1）用待定系数法，将B（－1,0）、C（3,0）代入y=ax2+bx+3即可求得抛物线的解析式。
（2）当直角梯形EFGH运动到E′F′G′H′时，过点F′作F′N⊥x轴于点N，延长E′ H’交x
轴于点P。根据相似三角形的判定和性质，可用t表示出OP=3－OM是矩形和菱形两种情况讨论即可。
（3）∵y=－x2+2x+3的对称轴为x=1，A（0，3）， ∴点A关于抛物线对称轴的对称点A′（2，3）。 ∴A A′=2。
设直线AD解析式为y=kx+b，
则由A（0，3），D（4，0）得
4t3t，H′P=－1。分平行四边形E′H′ 553??b=33?k=?，解得?4。∴直线AD解析式为y=?x+3。 ?4?4k+b=0??b=3由（2）知，点G的纵坐标为
33t164－1，代入y=?x+3得横坐标为?t。
4535由HG=2得
164164164?t?1=2，即?t?1=2或?t?1=?2。 3535353595或t=。 12123595∴当t=秒或t=秒时，以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形。
1212解得t=
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