4.0?10?2m，单位长度的电量为3.0?10?8C?m?1，一电子在两圆柱之间，沿半径
为3.0?10?2m的圆周路径匀速旋转. 问此电子的动能为多少？
解：
???E?ds?Q?0, E?? 2??0rVF?qE?m,
r2W?11??4.32?10?17J. mV2?Fr?224??011-18求距电偶极子中心为r处的电势.
解: 取V??0, 图中P(x,y)点的电势是 y VP?q?11?qr??r? r? r r? ????4π?0?r?r??4π?0r?r?由于r??l,?1??2??，有r??r??lcos?,r?r??r2 ?q O ?q x 于是得, 题11-18图
qlcos?qlx VP?. ?34π?0r24π?02?x?y2?211-19真空中相距为5.0?10?2m的两块大平行平板A、B带有等量异号的电荷，电荷面密度为3.54?10?6C?m?2. 若带负电的B板接地，求：(1) A板的电势，(2) 距离A板为1.0?10?2m处的电势.
解：(1) V?El??l?2.0?104V ?0 (2) V?El??l?1.6?104V. ?0?11-20在玻尔的氢原子模型中，电子被看成沿半径为0.53A的圆周绕原子核旋转. 若把电子从原子中拉出来需多少能量？
12e2解：电子总能量 W?m??,
24??0r
77
由于向心力 eE?e24??0r22???m,
r112e21得 W?m????m?2??eEr??27.2eV.
224??0r2把电子从原子中拉出来需要的能量是27.2eV.
11-21均匀带电球面的半径为R，电荷面密度为?，试分别用场强积分和电势叠加原理这两种方法求电势.
解法一：用场强积分法求电势.
取无穷远处电势V??0, 球面外一点E??Qr, 电势是
4π?0r3V(r)??rdrQ?R2, (r?R). E?dr=??2?4??0rr4??0r?0rQQ4??0R?当r?R时，由于带电球面内E?0，带电球面内任一点电势为
V(r)??E?dr??E?dr??E?dr??E?dr?rrRR?R????R， (r?R). ?0解法二：用电势叠加原理求电势. 均匀带电球面可看成以某个直径为轴线的许多均匀带电细圆环的集合, 如图所示, 其中的一个细圆环对距球心为r的点的电势的贡献是(套用教材184页(11-5-16)式)
dV??2?adl4π?0?r?x?2?a2,
其中, a?Rsin?是细圆环的半径, x?Rcos? r 是细圆环中心到球心的距离, dl?Rd?是细圆 环的宽度. 积分,得电势
?R2?sin?d? V(r)? ?222?00r?R?2rRcos?1?R222? ?r?R?2rRcos????2?0r?0
??R2Q?,r?R??R??0r4??0r ? ?r?R?r?R???????2?0r??R?Q,r?R???04??0R11-22电荷面密度??2.0?10?5C?m?2的均匀带电圆盘半径为R?8.0?10?2m. (1)求轴线上任一点的电势；(2) 利用电场强度和电势的关系求轴线上任一点的场
强；(3) 计算离盘心为0.10 m处的电势和场强.
78
?解：(1)V??xEdx
???x??x?(x2?R2?x) (1?)dx?222?02?0x?RdV?x?(1?)22dx2?0x?R(3)V(0.1)?3.17?104V (2)E??E(0.1)=2.48?105Vm11-23两共轴圆柱面半径分别为R1?3?10?2m,R2?0.10m，带等量异号电荷，两者的电势差为450V. 求：(1) 单位长度圆柱面上的电量；(2) 两圆柱面之间的
电场强度.
解:
U??E1dr??E2dr??E3dr???E2dr??00.10.30.10.3?0.30.30.1??ln3?450V dr?2?r2?0.1?0?0???????????C/m ?3.74?102??V/mE22?r?0r11-24有两根半径为a，相距为d的无限长直导线(d?a)，带等量异号电荷，
单位长度上的电量为?，求两根导线的电势差(每一导线为一等势体).
解：
?2??0x ?E2?2??0(d?x)E1?V??a??adx??d?adx2??0x2??0(d?x)
?d?a?d?a?d?a????ln?ln?ln2??0a2??0a??0ad?a11-25一长为L的均匀带电细棒，单位长度上电荷密度为?. 求任一点P的
电势和场强.
解：
79
dV????????dq4??0r?dx'4??02(x?x')?(y?y')2V??L0?dx'24??0(x?x')?(y?y')22
x?x2?y?????ln4??0x?L?(x?L)2?y2Ex???V?11?[?]
22?x4??0(x?L)2?y2x?y?V?11?[?]22222222?y4??0(x?L?(x?L)?y)(x?L)?y(x?x?y)x?yEy??
r d S ??2 ? r1 r2 ? rr1S
题11-26图 题11-27图
11-26如图所示，一平板电容器充以两种介质，每种介质各占一半体积，试证明其电容为 C??0S??r1??r2??d?22?. ?12?0?rs?0?rs?0s(?r??r)解： C?C1?C2? ???12d2d2d11-27如图所示，一平板电容器充以两种厚度相等的电介质，试证明其电容为 C?解：
d(?r1??r2)11111, ??????CC1C2?0?r1s?0?r2s2?0s?r1?r2dd22C?2?0s?r1?r2.
d?r1??r280
2?0S??r1?r2???. ?d??r1??r2??
11-28 三块平行板A、B、C，面积均为20cm2，A、B相距4 mm，A、C相距2 mm，B、C两板接地，若使A板带正电3.0?10?7C，求(1) B、C两板上的感应电荷各为多少？(2) A板电势为多大？
解：(1)
UCA?UBA s?0?2CBACCA?d QC?2QB
QC??2.0?10?7CQA??1.0?10C?7
(2) UA?QCQCd??2.26?104V Cs?0 C A B 2mm 4mm K A B
题11-28图 题11-29图
11-29如图所示，空气平板电容器由两块相距为0.5 mm的薄金属板A、B构成. 若将此电容器放在一金属盒子K内，金属盒上下两壁与A、B分别相距0.25 mm，在不计边缘效应时，电容器的电容变为原来的几倍？若将盒中电容器的一极板与金属盒相联接，这时的电容变为原来的几倍？
解：
(1)C?C0?112C0?12C0
?????????2C0(2)C?C0?2C0??????????C011-30平板电容器的极板面积S?2.0?10?2m2，极板间两层介质的厚度分别为d1?2.0?10?3m，d2?3.0?10?3m，相对介电常数分别为?r1?5， ?r2?2.(1)求此电容器的电容；(2) 如以3800V的电压加在电容器两极板上，求极板的电荷面密度，极板间电位移矢量和介质内场强的大小.
81