?的长. （2）以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G，若BF=FC=1，试求EG
【答案】解：（1）证明：∵DE⊥AF ，∴∠AED=90°.
又∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠B=90°. ∴∠DAE=∠AFB，∠AED=∠B=90°. 又∵AF=AD，∴△ADE≌△FAB（AAS）. ∴DE=AB.
（2）∵BF=FC=1，∴AD=BC=BF+FC=2.
又∵△ADE≌△FAB，∴AE=BF=1. ∴在Rt△ADE中，AE=
1AD. ∴∠ADE=30°. 2又∵DE=AD2?AE2?22?12?3，
??∴EGn?R30???33???. 1801806【考点】矩形的性质；全等三角形的判定和性质；含30度角直角坐标三角形的性质；勾股定理；弧长的计算.
【分析】（1）通过应用AAS证明△ADE≌△FAB即可证明DE=AB.
?的长. （2）求出∠ADE和DE的长即可求得EG22. （2017年浙江金华410分）小慧和小聪沿图1中的景区公路游览，小慧乘坐车速为30km/h的电动汽车，早上7:00从宾馆出发，游玩后中午12:00回到宾馆现. 小聪骑自行车从飞瀑出发前往宾馆，速度为20km/h，途中遇见小慧时，小慧恰好游完一景点后乘车前往下一景点，上午10:00小聪到达宾馆. 图2中的图象分别表示两人离宾馆的路程s（km）与时间t（h）的函数关系. 试结合图中信息回答： （1）小聪上午几点钟从飞瀑出发？
（2）试求线段AB，GH的交叉点B的坐标，并说明它的实际意义；
（3）如果小聪到达宾馆后，立即以30km/h的速度按原路返回，那么返回途中他几点钟遇见小慧？
解：（
1）小聪从飞瀑到宾馆所用的时间为50÷20=2.5(h)
∵小聪上午10:00到达宾馆，∴小聪从飞瀑出发的时刻为10－2.5=7.5. ∴小聪早上7：30分从飞瀑出发. 2）设直线GH的函数表达式为s=kt+b,
∵点G（1??1k?b?50?k??202，50），点H (3, 0 )，∴??2，解得??3k?b?0?b?60.
∴直线GH的函数表达式为s=－20t+60.
又∵点B 的纵坐标为30，∴当s=30时，－20t+60=30, 解得t=32. ∴点B（
32，30）. 点B的实际意义是：上午8:30小慧与小聪在离宾馆30km (即景点草甸) 处第一次相遇. 3）设直线DF的函数表达式为s?k1t?b1,该直线过点D和 F(5，0)，
∵小慧从飞瀑回到宾馆所用时间50?30=53（h）， ∴所以小慧从飞瀑准备返回时t=5?5103?103，即D（3，50).
??10?3k1?b1?50，解得?k1??30???5k1?b1?0?b. 1?150∴直线DF的函数表达式为s=－30t+150.
∵小聪上午10:00到达宾馆后立即以30km/h的速度返回飞瀑， ∴所需时间50?30=53（h）. 如答图，HM为小聪返回时s关于t的函数图象.
【答案】（（
∴点M的横坐标为3+
51414=，点M（，50）. 33314，50）， 3设直线HM的函数表达式为s?k２t?b２,该直线过点H(3，0) 和点M（
?14?k２?30?k２?b２?50∴?3，解得?.
b??90?２??3k２?b２?0 ∴直线HM的函数表达式为s=30t－90，
由30t?90??30t?150解得t?4，对应时刻7+4=11， ∴小聪返回途中上午11:00遇见小慧.
【考点】一次函数的应用；待定系数法的应用；直线上点的坐标与议程伯关系. 【分析】（1）求出小聪从飞瀑到宾馆所用的时间即可求得小聪上午从飞瀑出发的时间.
（2）应用待定系数法求出直线GH的函数表达式即可由点B的纵坐标求出横坐标而得点B的坐
标；点B的实际意义是：上午8:30小慧与小聪在离宾馆30km (即景点草甸) 处第一次相遇.
（3）求出直线DF和小聪返回时s关于t的函数（HM），二者联立即可求解.
23. （2017年浙江金华10分）图1，图2为同一长方体房间的示意图，图2为该长方体的表面展开图.（1）蜘蛛在顶点A'处①苍蝇在顶点B处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；②苍蝇在顶点C处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD爬行的最近路线A'GC和往墙面BB'C'C爬行的最近路线A'HC，试通过计算判断哪条路线更近？
（2）在图3中，半径为10dm的⊙M与D'C'相切，圆心M到边CC'的距离为15dm，蜘蛛P在线段AB上，苍蝇Q在⊙M的圆周上，线段PQ为蜘蛛爬行路线。若PQ与⊙M相切，试求PQ的长度的范围.
【答案】解：（1）①如答图1，连结A'B，线段A'B就是所求作的最近路线.
②两种爬行路线如答图2所示， 由题意可得：
在Rt△A'C'C2中， A'HC2=A'C'?C'C2?70?30?5800 (dm)； 在Rt△A'B'C1中， A'GC1=A'B'2?B'C12?402?602?5200(dm) ∵5800＞，∴路线A'GC1更近.
2222
（2）如答图，连接MQ，
∵PQ为⊙M的切线，点Q为切点， ∴MQ⊥PQ.
∴在Rt△PQM中，有PQ2=PM2－QM2= PM2－100， 当MP⊥AB时,MP最短，PQ取得最小值，如答图3, 此时MP=30+20=50，
∴PQ=PM2?QM2?502?102?206 (dm).
当点P与点A重合时, MP最长，PQ取得最大值，如答图4, 过点M作MN⊥AB，垂足为N， ∵由题意可得 PN=25，MN=50，
∴在Rt△PMN中，PM2?AN2?MN2?252?502.
22∴在Rt△PQM中，PQ=PM?QM?252?502?102?55 (dm).
综上所述， PQ长度的取值范围是206dm?PQ?55dm.
【考点】长方体的表面展开图；双动点问题；线段、垂直线段最短的性质；直线与圆的位置关系；勾股定理.
【分析】（1）①根据两点之间线段最短的性质作答.
②根据勾股定理，计算两种爬行路线的长，比较即可得到结论.
（2）当MP⊥AB时,MP最短，PQ取得最小值；当点P与点A重合时, MP最长，PQ取得最大值.
求出这两种情况时的PQ长即可得出结论.
24. （2017年浙江金华12分）如图，抛物线y?ax2?c(a?0)与y轴交于点A，与x轴交于点B，C两点（点C在x轴正半轴上），△ABC为等腰直角三角形，且面积为4. 现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线经过点C时，与x轴的另一交点为E，其顶点为F，对称轴与x轴的交点为H. （1）求a，c的值；
（2）连结OF，试判断△OEF是否为等腰三角形，并说明理由；
（3）现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与y轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使以点P，Q，E为顶点的三角形与△POE全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形，∴OA=
又∵△ABC的面积=
1BC. 212BC×OA=4，即OA=4，∴OA=2. 2（0， 2）（?2， 0）（2， 0）∴A ，B ，C .
1??c?2?a??∴?，解得?2.
4a?c?0???c?2