5、求不定积分
?dx3sinxcosx5
d2y6、已知y?tan(x)，求 2dx
四、 设x??1，证明下列不等式（8分） 1、(1?x)a?1?ax （0?a?1)
2、(1?x)a?1?ax （ a?1或a?0）
五、 把曲线y?x绕x轴旋转得一旋转体，它在x?0,x??之间的体积记作V(?)，
1?x21limV(?)。（7分） 2????求a等于何值时，能使V(a)?
六、 设f(x)在闭区间[a,b]上连续且f(a)?f(b)；在开区间（a,b）内具有二阶导数且
f(x)在x?a处的右导数f?/(a)为正，证明在（a,b）内至少存在一点c，使得
（7分） f//(c)?0。
6
1994~1995(下)高等数学试题
一、设z?
二、设z?xarctan(xy)，求zx|(1,1）；zy|(1,1)；gradz|(1,1) （9分）
三、求曲面e?z?xy?3在点M(2,1,0)处的切平面方程和法线方程。（9分）
四、设I?z（6分） y?f(3x?1)且当y?1时，z?x，求函数z的解析表达式。
????f(x2?y2)dxdydz，其中?是曲面z?x2?y2和z?4?x2?y2围
成的空间区域。（1）将三重积分I化为球坐标系下的三次积分（不作计算），（2）将三
重积分I化为柱坐标系下的三次积分（不作计算） （9分）
五、计算曲线积分I??C(x2?y2)dx?(x?2)dy，其中C是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为
顶点的三角形的正向。 （9分）
7
六、求微分方程y?
/y的通解。 x?y七、求微分方程y//?2y/?3y?1?ex的通解。 （9分） 八、计算
2tan(1?x)dxdy。其中D为x?0,x?y,y?1所围成的区域。 （9分） ??D?2z九、设z?x?(y,xy)，其中?具有二阶连续偏导数，求。 （10分）
?x?y2
十、将f(x)?
十一、计算曲面积分外侧。 （10分）
8
222xzdydz?zdxdy?，其中是旋转抛物面z?x?y(0?z?1)的???1展开成（x?2）的幂级数。 （10分） x21995~1996(下)高等数学试题
y?2z?2z一、设z?xf()，其中f是任意的二次可微函数，求2?。
x?x?y2
二、求一曲线方程，这曲线通过原点，且它的每一点处的切线斜率等于2x?y。
三、求曲面3x?y?z?3在点A(1,1,1)处的切平面和法线方程。
四、计算曲线积分I?222?(xL2?y2)dx?(x?y)2dy，其中L是以点O(0,0),A(2,1),B(2,4)为顶点的三角形周界的正向。
五、研究函数z?1?(x?y)的最值。
2223 9
六、计算二重积分I?区域。
x2[e?cos(1?y)]dxdy，其中D是y?x,y?0,x?1由围成的??D2七、计算曲面积分I?I?2222xdydz?xzdzdx?zdxdy?，其中是由抛物面z?x?y???和平面z?1所围成的区域的边界曲面的外侧。
八、求微分方程：y//?5y/?6y?xe2x的通解。
九、将f(x)?
十、设正项级数
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1展开成（x?2）的幂级数。 2x?an?1?n收敛，求证
?an?1?2n也收敛。