1 求解下述线性规划问题
minz??3x1?4x2
?4x1?2x2?5?s.t.?x1?x2?1?x,x?0?122 设某种动物每天至少需要700g蛋白质、30g矿物质、100mg维生素，现有五种饲料可供选择，每种饲料每公斤营养成分的含量及单价如表所示。
试建立既满足动物生长需要，又使费用最省的选用饲料方案的线性规划模型。 饲料 1 2 3 4 5 蛋白质/g 3 2 1 6 18 矿物质/g 1 0.5 0.2 2 0.5 维生素/mg 0.5 1 0.2 2 0.8 价格/（元/kg） 0.2 0.7 0.4 0.3 0.8 3某医院昼夜24h各时段内需要的护士数量如下：2：00—6：00 10人，6：00—10：00 15人，10：00—14：00 25人，14：00—18：00 20人，18：00—22：00 18人，22：00—2：00 12人。护士分别于2：00，6：00，10：00，14：00，18：00，22：00分6批上班，并连续工作8小时。试建立模型，要求既满足值班需要，又使护士人数最少。 4 某人有一笔30万元的资金，在今后三年内有以下投资项目：
（1） 三年内的每年年初均可投资，每年获利为投资额的20%，其本利可以起用于下一年投资；
（2）只允许第一年年初投入，第二年年末可收回，本利合计为投资额的150%，但此类投资限额不超过15万元；
（3）于三年内第二年初允许投资，可于第三年末收回，本利合计为投资额的160%，这类投资限额20万元。
（4） 于三年内的第三年初允许投资，一年回收，可获利40%，投资限额为10万元。 试为该人确定一个使第三年末本利和为最大的投资计划。
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1 某厂准备生产A、B、C三种产品，它们都消耗劳动力和材料，如下表： 产品名称 耗用设备（台时/件） 耗用材料（kg/件） 利润（元/件） A B C 6 3 5 3 4 5 3 1 4 资源量 45（台时） 30（kg） 试建立能获得最大利润的产品生产计划的线性规划模型，并列出初始单纯形表。
某航空公司为满足客运量日益增长的需要，正考虑购置一批新的远程、中程、短程的喷气式客机。每架远程的喷气式客机价格670万元，每架中程的喷气式客机价格500万元，每架短程的喷气式客机价格350万元。该公司现有资金15000万元可以用于购买飞机。根据估计年净利润每架远程客机42万元，每架中程客机30万元，每架短程客机23万元。设该公司现有熟练驾驶员可用来配备30架新的飞机。维修设备足以维修新增加40架短程的喷气式客机，每架中程客机的维修量相当于4/3架短程客机，每架远程客机的维修量相当于5/3架短程客机。为获得最大利润，该公司应购买各类飞机各多少架？(建立模型，不需求解)
下表1是某求极大化线性规划问题计算得到的单纯形表。表中无人工变量，试说明这些常数分别取何值时，以下结论成立。 a1,a2,a3,d,c1,c2为待定常数，d?0。
（1）表中解为惟一最优解；
（2）表中解为最优解，但存在无穷多最优解； （3）该线性规划问题具有无界解；
（4）表中解非最优，为对解改进，换入变量为x1，换出变量为x6
基 b x3 d x1 4 -1 x2 a1 -3 -5 表1
x3 x4 1 0 0 0 0 1 0 0 x5 x6 0 0 1 0 a2 -1 -4 -3 x4 2 x6 3 a3 c1 cj?zj c2 1.根据以下条件建立线性规划数学模型
某工厂生产A、B、C三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示： 单位 产品 消耗 资源 原材料 机械台时 单位利润 资源 限量 2000 1000 A B C 1.0 2.0 10 1.5 1.2 14 4.0 1.0 12 根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250和100件，最大月销售量分别为250，280和120件。月销售分别为250，280和120件，问如何安排生产计划，使总利润最大？
解：设X1,X2,X3分别设代表三种产品的产量，则线性规划模型为
maxZ=10X1+14X2 +12X3
s·t X1 +1.5X2+4X3≤2000
2X1+1.2X2+X3≤1000 200≤X1≤250 250≤X1≤280 X1，X2，X3≥0
2.把下列线性规划问题化成标准形式：
答：maxZ’ = －5x1 +2x2
3.把下列线性规划问题化成标准形式：
minZ=2x1-x2+2x3
答：
5.根据所给条件建立线性规划模型。
某建筑工地有一批长度为10米的相同型号的钢筋，今要截成长度为3米的钢筋90根，长度为4米的钢筋60根，问怎样下料，才能使所使用的原材料最省? 答：将10米长的钢筋截为3米和4米长，共有以下几种下料方式：
长 度 种 类 Ⅰ 0 2 Ⅱ 1 1 Ⅲ 2 0 3米 4米 设X1， X2， X3分别表示采用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ种下料方式的钢筋数，则线性规划模型可写成： minZ= X1 +X2 +X3
s·t 2X2+3X3≥90
2X1+X2≥60 X1，X2，X3≥0
1.下表为用单纯形法计算时某一步的表格。已知该线性规划的目标函数为maxZ=5x1+3x2，约束形式为“≤”，X3，X4为松驰变量，表中解代入目标函数后得Z=10
X3 Xl －10 2 a Xl b C d X2 -1 O e X3 f 1 0 X4 g 1／5 1 （1）求表中a～g的值 （2）表中给出的解是否为最优解? 解：（1）a=2 b=0 c=0 d=1 e=4/5 f=0 g=－5 （2）表中给出的解为最优解
2.用单纯形法求解下列线性规划问题：
maxZ=3x1+5x2
x1≤15
2x2≤12 3x1+2x2≤18 x1，x2≥0
解：化为标准形式
maxZ =3x1＋5x2＋x3＋0x4＋0x5 s·t x1+ x3=15 2x2 +x5=12 3x1+2x2+x5=18 xj≥0（j=1,……，5） cj CB xB b 0 x3 15 0 x4 12 0 x5 18 cj－zj 0 x3 15 0 x4 6 0 x5 6 cj－zj 0 x3 13 5 x2 6 3 x1 2 cj－zj 3 5 0 0 0 x1 x2 x3 x4 x5 1 0 1 0 0 0 （2） 0 1 0 3 2 0 0 1 3 5 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1/2 0 （3） 0 0 －1 1 3 0 0 －5/2 0 0 0 1 1/3 －1/3 0 1 0 1/2 0 1 0 0 －1/3 1/2 0 0 0 －3/2 －1 Ts·t
最优解 X﹡=（2，6，13，0，0） Z﹡=36 3.用大M法求解下列线性规划问题
解：化为标准形式
maxZ=x1+2x2+3x3－x4－mx5－mx6 s·t x1+2x2+3x3 +x5=15 2x1+x2+5x3+x6=20 x1+2x2+x3+x4=10 xj≥0（j=1,……，6） cj CB xB b －M x5 15 －M x6 20 －1 x4 10 cj－zj －M x5 5 －M x6 15 1 2 3 –1 –M –M x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 2 3 0 1 0 2 1 5 0 0 1 1 （2） 1 1 0 0 4M+1 5M+2 9M+3 0 0 0 0 0 2 -1 1 0 （3/2） 0 4/2 -1/2 0 1 2 x2 5 cj－zj －M x5 5 1 x1 10 2 x2 0 cj－zj 3 x1 5/2 1 x1 5/2 2 x2 5/2 cj－zj x=（
*
1/2 1 1/2 1/2 0 0 3133M 0 M+2 -M+2 0 0 2220 0 （2） -1 1 0 1 0 3 -1/3 0 2/3 0 1 1 2/3 0 -1/3 0 0 2M+2 -M-2 0 -M 0 0 1 -1/2 1/2 0 1 0 0 7/6 -3/2 2/3 0 1 0 1 1/2 -1/3 0 0 0 -7/2 -M-1 -M 555T*
，，，0，0，0），z=15 2224.用单纯形法求解线性规划问题 minZ=－2x1+x2+x3
s·t 3x1+ x2+x3≤60 x1－x2 +2x3≤10 x1+x2－x3≤20
xj≥0（j=1,2，3）
解：化为标准形式
’
maxZ =2x1－x2＋x3
s·t 3x1+ x2+x3+x4=60 x1－x2 +2x3+x5=10 x1+x2－x3+x6=20 xj≥0（j=1,……，6） cj CB xB b 0 x4 60 0 x5 10 0 x6 20 cj－zj 0 x4 30 0 x1 10 0 x6 10 1 cj－zj 0 x4 10 2 x1 15 －1 x2 5 0 1 －3 0 －2 0 0 0 1 1 －1 －2 1 0 1/2 0 1/2 1/2 0 1 －3/2 0 －1/2 1/2 0 0 －5/2 0 －1/2 －1/2 T2 －1 1 0 0 0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 3 1 1 1 0 0 （1） －1 2 0 1 0 1 1 －1 0 0 1 2 －1 1 0 0 0 0 4 －5 1 －3 0 1 －1 2 0 1 0 0 （2） －3 0 －1 cj－zj 最优解 X﹡=（15，5，0，10，0，0） Z﹡=－25