（3）令y?0，即x2?2mx?4m?8?0时，有
2m?2m2?4m?8x??m?(m?2)2?4 2由题意，(m?2)2?4为完全平方数，令(m?2)2?4?n2 即(n?m?2)(n?m?2)?4
∵m,n为整数， ∴n?m?2,n?m?2的奇偶性相同
∴??n?m?2?2?n?m?2??2或?
?n?m?2?2?n?m?2??2?m?2?m?2或?
?n?2?n??2解得?综合得m?2
（2011年广东茂名市）如图，⊙P与y轴相切于坐标原点O（0，0），与x轴相交于
点A（5，0），过点A的直线AB与y轴的正半轴交于点B，与⊙P交于点C．
（1）已知AC=3，求点Ｂ的坐标； （４分）
（2）若AC=a, D是OＢ的中点．问：点O、P、C、D四点
是否在同一圆上？请说明理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为O1，函数y?χ
y
k的图象经过点x第24题图
O1，求k的值（用含a的代数式表示）． （４分）
解：
χ
y
六、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
24、解：（1）解法一：连接OC，∵OA是⊙P的直径，∴OC⊥AB， 在Rt△AOC中，OC?OA2?AC2?25?9?4，1分
在 Rt△AOC和Rt△ABO中，∵∠CAO=∠OAB
∴Rt△AOC∽Rt△
ABO，····························2分 ∴
第24题备用图
ACAO?，即COOB35?， ····················3分 4OB ∴OB?分
2020 ， ∴B(0,)····················433 解法二：连接OC，因为OA是⊙P的直径， ∴∠ACO=90°
在Rt△AOC中，AO=5，AC=3，∴OC=4， ············1分 过C作CE⊥OA于点E，则：
11?OA?CE??CA?OC， 22即：
11?5?CE??3?4，∴22CE?12，·························2分 5∴OE?OC2?CE2?121642?()2? ∴
55C(1612,)，·········3分 55设经过A、C两点的直线解析式为：y?kx?b．
把点A（5，0）、C(1612,)代入上式得： 554?k???5k?b?0???3 ， 解得：， ??161220k?b??b??5?5?3? ∴y??分
（2）点O、P、C、D四点在同一个圆上，理由如下：
连接CP、CD、DP，∵OC⊥AB，D为OB上的中点， ∴CD?20420x? ， ∴点B(O,) ．·43331OB?OD， 2∴∠3=∠4，又∵OP=CP，∴∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°， ∴PC ⊥CD，又∵DO⊥OP，∴Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD为斜边的直角三角形，∴PD上的中点到点O、P、C、D四点的距离相等，
∴点O、P、C、D在以DP为直径的同一个圆上； ·················6
分
由上可知，经过点O、P、C、D的圆心O1是DP的中点，圆心O1(由（1）知：Rt△AOC∽Rt△ABO，∴
中，
OPOD,)， 22ACOA25?，求得：AB=，在Rt△ABOOAABaOA5525?a21525?a2OP?? ，OD=OB?，OB?AB?OA?22a22a22k5525?a2∴O1(,)，点O1在函数y?的图象上，
x44a525?a24k∴， ∴?4a52525?a2． ················8分 k?16a
（2011年广东茂名市）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点Ａ(0，
4)，B(1，0)，C（5，0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M．
（1）求抛物线的解析式和对称轴； （3分）
（2）设点P为抛物线（x?5）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形四条边
的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标； （2．．．．
分）
（3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最
大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由． （3分） 解：
第25题图
25、解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y?a(x?1)(x?5)，············1分
把点A（0，4）代入上式得：a? ∴y?分
4
， 5
4424416(x?1)(x?5)?x2?x?4?(x?3)2?，···········255555x?3． ∴抛物线的对称轴是：······································3
分
（2）由已知，可求得P（6，4）． ···································5
分
提示：由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3，又知点P的坐标中x?5，所以，MP>2,AP>2；因此以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，所以四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，在Rt△AOM中，
AM?OA2?OM2?42?32?5，因为抛物线对称
轴过点M，所以在抛物线x?5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，即PM=5，此时点P横坐标为6，即AP=6；故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立， 即P（6，
4）．···································5分
（注：如果考生直接写出答案P（６，４），给满分2分，但考生答案错误，解答过程分析合理可酌情给1分） ⑶法一：在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．
2设N点的横坐标为t，此时点N(t,t?4524t?4)5（0?t?5)，过点N作NG∥y轴交AC于G；由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：