444y??x?4；把x?t代入得：y??t?4，则G(t,?t?4)，
555此时：NG=?4424t?4-（t2?t?4）， 555=?分
4220t?t． ······································７55∴S?ACN?∴当t?11420525NG?OC?(?t2?t)?5??2t2?10t??2(t?)2? 225522525时，△CAN面积的最大值为，
22由t?分
54245t?4??3，∴N，得：y?t2?（， -3）． ········ 8
5522法二：提示：过点N作x轴的平行线交y轴于点E，作CF⊥EN于点F，则
S?ANC?S梯形AEFC?S?AEN?S?NFC
（再设出点N的坐标，同样可求,余下过程略）
（2011年凉山州）如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1?x2，
与y轴交于点C?0,?4?，其中x1，x2是方程x2?4x?12?0的两个根。 （1）求抛物线的解析式；
（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，当△CMN的面积最大时，求点M的坐标；
（3）点D?4,k?在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标，若不存在，请说明理由。
A N O M y B x C 28题图
28．（1）∵x2?4x?12?0，∴x1??2，x2?6。
∴A(?2,0)，B(6,0)。····················1分 又∵抛物线过点A、B、C，
故设抛物线的解析式为y?a(x?2)(x?6)， 将点C的坐标代入，求得a?1。 3 ∴抛物线的解析式为y?124x?x?4。········3分 33（2）设点M的坐标为（m，0），过点N作NH?x轴于点H（如图（1））。
∵点A的坐标为（?2，0），点B的坐标为（6，0），
∴AB?8，
AM?m?2。···························4分
∵MN?BC，∴△MN∥△ABC。
NHAMNHm?2??，∴，∴COAB48m?2NH?。·················5分
2∴
CO?∴S△CMN?S△ACM?S△AMN??AM??分
121AM?NH 2y 1m?21(m?2)(4?)??m2?m?3 ······6224F1 A E O F2 B x D 图（2）
1??(m?2)2?4。
4∴当m?2时，S△CMN有最大值4。
此时，点M的坐标为（2，0）。··············7分 （3）∵点D（4，k）在抛物线y?∴当x?4时，k??4， ∴点D的坐标是（4，?4）。
如图（2），当AF为平行四边形的边时，AF∵D（4，?4），∴E（0，?4），DE?4。 ∴F1(?6,0)，F2(2,0)。 ··········9分 ① 如图（3），当AF为平行四边形的对角线时， 设F(n,0)，则平行四边形的对称中心为 （
D 图（3） y 124x?x?4上， 33DE， E? A E? F3 O B F4 x n?2，0）。·················10分 2∴E?的坐标为（n?6，4）。 把E?（n?6，4）代入y?解得 n?8?27。
124x?x?4，得n2?16n?36?0。 33F3(8?27,0)，F4(8?27,0)。····
（株洲市2011年）24．（本题满分10分）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和
同学们一起研究某条抛物线y?ax2(a?0)的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题： （1）若测得OA?OB?22（如图1），求a的值；
（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作
BF?x轴于点F，测得OF?1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标； ．．．
（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的
连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．
24.解：
yOxABEOyFBxA图1 图（1）设线段AB与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点，
? OA?OB?22，?AOB?90?，
?AC?OC?BC?2，?B(2，?2) ??? 2
分
将B(2，?2)代入抛物线y?ax2(a?0)得，a??分
（2）解法一：过点A作AE?x轴于点E，
1. ??? 321?点B的横坐标为1，?B (1，?)， ??? 4
2分
?BF?1. 又? ?AOB?90?，易知?AOE??OBF，又?AEO??OFB?90?， 2?△AEO∽△OFB，?AEOF1???2 ?AE?2OE ??? 5yOEBF12EOFBx分
设点A（?m，?1211m）（m?0），则OE?m，AE?m2，?m2?2m 222A ?m?4，即点A的横坐标为?4. ??? 6分
解法二：过点A作AE?x轴于点E，
1?点B的横坐标为1，?B (1，?)， ??? 4分
2?tan?OBF?OF1??2 BF12? ?AOB?90?，易知?AOE??OBF，
?AE?tan?AOE?tan?OBF?2，?AE?2OE ??? 5分 OE1211m）（m?0），则OE?m，AE?m2，?m2?2m 222设点A（-m，??m?4，即点A的横坐标为?4. ??? 6分
解法三：过点A作AE?x轴于点E，
1?点B的横坐标为1，?B (1，?)， ??? 4分
2设A（-m，?12m）（m?0），则 2