E?hv??ec
2此外，还有
E?pc?hc?
于是，有
hc??
??ec2
2??hc?ec
?1.24?100.51?10?3?66mm
?2.4?10?2.4?10?12nm尽管这是光子转化为电子的最大波长，但从数值上看，也是相当小的，我们知道，电子是自然界中最轻的有质量的粒子，如果是光子转化为像正反质子对之类的更大质量的粒子，那么所对应的光子的最大波长将会更小，这从某种意义上告诉我们，当涉及到粒子的衰变，产生，转化等问题，一般所需的能量是很大的。能量越大，粒子间的转化等现象就越丰富，这样，也许就能发现新粒子，这便是世界上在造越来越高能的加速器的原因：期待发现新现象，新粒子，新物理。
第二章波 函数和薛定谔方程
2.1证明在定态中，几率流与时间无关。 证：对于定态，可令
?(r，t)??(r)f(t)???Et ??(r)e?i? J?(???2m ? ?i?2mi?2m*i??????)
iiii*?Et???Et???Et*???Et*??[?(r)e?（?(r)e）??(r)e?（?(r)e）]??*?*?[?(r)??(r)??(r)??(r)]? 可见J与t无关。
2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：
1ikr1?ikre (2 )? 2?e (1)?1? rr 从所得结果说明?1表示向外传播的球面波，?2表示向内(即向原点) 传播的球面波。 解：J1和J2只有r分量
在球坐标中
?? 6
???r??1??1?0?r?e?r???e?rsin???(1) J?i?**1?2m(?1??1??1??1) ?i?1ikr?1?ikr1?ikr?1ikr?2m[re?r(re)?re?r(re)]r0 ?i?2m[1r(?11111?r2?ikr)?r(?r2?ikr)]r0
??k??k?2r?r ?J?mr0mr31与r同向。表示向外传播的球面波。
(2) ?Ji?*2?2m(?2??2??*2??) ?i?1?ikr?1ikr?ikr2m[re?r(re)?1rreik(1e??rr)]?r0
?i?11111?ik1
2m[r(?r2?ikr)?r(?r2r)]?r0 ???k??k?mr2r0??mr3r 可见，?J?2与r反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。
补充：设?(x)?eikx，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？
???*?dx???dx??
? ∴波函数不能按??(x)2dx?1方式归一化。
? 其相对位置几率分布函数为 ???2?1表示粒子在空间各处出现的几率相同。
2.3 一粒子在一维势场
7
??，x?0 U(x)???0， 0?x?a ???，x?a中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：U(x)与t无关，是定态问题。其定态S—方程
2d2
??2mdx2?(x)?U(x)?(x)?E?(x)
在各区域的具体形式为 Ⅰ：x?0 ??2d22mdx2?1(x)?U(x)?1(x)?E?1(x) Ⅱ： 0?x?a ??2d22mdx2?2(x)?E?2(x) ?22 Ⅲ：x?a ?d2mdx2?3(x)?U(x)?3(x)?E?3(x) 由于(1)、(3)方程中，由于U(x)??，要等式成立，必须
?1(x)?0 ?2(x)?0 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。 方程(2)可变为d2?2(x)2mEdx2??2?2(x)?0
令k2?2mE?2，得
d2 ?2(x)2dx2?k?2(x)?0 其解为 ?2(x)?Asinkx?Bcoskx ④
根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得 ?2(0)??1(0) ⑤
?2(a)??3(a) ⑥
⑤ ?B?0 ⑥
?A?0?sinka?0
?ka?n? ( n ?1, 2, 3,?) ∴?n?2(x)?Asinax
由归一化条件
??(x)2dx?1 ?a得 A2?sin2n?xdx?1
0a ①
②
③ ?Asinka?0 8
由
?A??absinm?ax?sinn?axdx?a2?mn
2a2sinn?ax
??2(x)? ?k2? ?En?
a2mE?2
22??22ma对应于En的归一化的定态波函数为
n ( n ? 1,2,3,?)可见E是量子化的。
2?Ent?2n??sinxe, 0?x?a??n(x,t)??aa? 0, x?a, x?a?i
#
12.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是A??
a证：
n??(x?a), x?a ?A?sina?n?? ? 0, x? a ?（2.6-14）
由归一化，得
9
1???2?2ndx??a?a2A?sin2n?a(x?a)dx?A?A?2?a12a?a[1?cosA?2?an?2n?aa(x?a)]dxn?an?a2?x?a?2A???acos(x?a)dx
a?A?a??A?a2221sin(x?a)?a ∴归一化常数A?? #
a
2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。 解
：
?(x)??1(x)??1(x)2?2??4?2??x22?2?xe2??x22??x2122
2??2??xe
2? ? 3
??xe 令
d?1(x)dx ?2?3?[2x?2?x]e23??x22
d?1(x)dx ?0，得
1 x???
x?0 x??? x???时，?1(x)?0。显然不是最大几率的位置。 由?1(x)的表达式可知，x?0 ，而
d?1(x)dx322 ?2?3?22[(2?6?x)?2?x(2x?2?x)]e44??x2222223??x22?4??[(1?5?x?2?x)]e
10