2.8分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为 ??, x ? 0 ， ? U(x)??U0, 0 ?x?a，???U1, a ?x?b，
??0, b ? x ， 求束缚态的能级所满足的方程。
解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。 定态S-方程为 ??2d22?dx2?(x)?U(x)?(x)?E?(x) 对各区域的具体形式为 Ⅰ：??22??1???U(x)?1?E?1 2 Ⅱ：??2???2??U0?2?E?2 (0?x?a) Ⅲ：??22???3??U1?3?E?3 (a?x?b) 2 Ⅳ：??2???4??0?E?4 (b?x) 对于区域Ⅰ，U(x)??，粒子不可能到达此区域，故 ?1(x)?0 而 . ????2? (U0?E)2 ①
?2?2?0 ??2? (U1?E)3??2 ②
??3?0 ????2?E4?2?4?0 ③
对于束缚态来说，有?U?E?0
∴ ??222? (U0?E)2??k1?2?0 k1??2 ??22? (U1?E)3??k23?3?0 k3??2
??4??k24?4?0 k24??2?E/?2
各方程的解分别为
?2?Aek1x?Be?k1x?3?Csink2x?Dcosk2x
?4?Ee?k3x?Fe?k3x
(x?0)④ ⑤ ⑥
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由波函数的有限性，得 ?4(?)有限， ? E?0
∴
?4?Fek3x?k3x
由波函数及其一阶导数的连续，得 ?1(0)??2(0) ? B??A
∴
?2?A(e?e)k3x?k3x
?2(a)??3(a)?A(e⑦
?e?k3x)?Csink2a?Dcosk2a
?3?(a)??3?(a)?Ak1(e ⑧
k3a?e?k3a)?Ck2cosk2a?Dk2sink2a?k3b?3(b)??4(b)?Csink2b?Dcosk2b?Fe
⑨
?3?(b)??4?(b)?Ck2sink2b?Dk2cosk2b??Fk3e ⑩
?k3bk1e由⑦、⑧，得
k1ak1a?e?e?k1a?k1ak2e?Ccosk2a?Dcosk2aCsink2a?Dcosk2a
(11)
由 ⑨、⑩得(k2cosk2b)C?(k2sink2b)D?(?k3sink2b)C?(k3cosk2b)D (k2k3cosk2b?sink2b)C?(?k2k3cosk2b?sink2b)D?0 (12)
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?? 令
eek1ak1a?e?e(?k2?k1a?k1a?k1k2，则①式变为
(?sink2a?cosk2a)C?(?cosk2a?sink2a)D?0 联立(12)、(13)得，要此方程组有非零解，必须
(k2k3(?sink2a?cosk2a)cosk2b?sink2b)sink2b?cosk2b)?0 k3(?cosk2a?sink2a)k2k3cosk2b?sink2b)?(?sink2a?cosk2a)?即 (?cosk2a?sink2a)( ?(? ?k2k3k2k3sink2b?cosk2b)?0k2k3k2k3k2k3k2k3sink2bsink2a??sink2bcosk2a?sink2bsink2a?k2k3sink2bcosk2a)?cosk2bcosk2a? ?sink2bsink2a??
??cosk2bsink2a?cosk2bcosk2a?0 sink2(b?a)(?? tgk 2(b?a)?(1?)?cosk2(b?a)((?k2k3?1)?0?)(k2k3??) 把?代入即得
tgk2(b?a)?(1?k2ek3ek1ak1a?e?e?k1a)(?ka1满
k2k3足
?的
k1ek2e方
程
k1ak1a?e?e?k1a)?ka1
此即为所要求的束缚态能级所#
附：从方程⑩之后也可以直接用行列式求解。见附页。
。
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(ek1a?e?k1a)?sink2a?cosk2a0(ek1a?e?k1a)k2?k2cosk2ak2sink2a00sink?02bcosk2b?e?k3a0kk3a2cosk2b?k2sink2bk?3e?k2cosk2ak2sink2a00?(ek1a?e?k1a)sink2bcosk2b?e?k3a?k2cosk2b?k2sink2bk?k3a3e?sink2a?cosk2a0 ? k 1(ek1a?e?k1a)?sink2bcosk2b?e?k3ak2cosk2b?k2sink2bk?k3a3e ? (ek1a?e?k1a（)?k?k3a2?k3a2k3ecosk2acosk2b?k2esink2a c o s k?k3ak2?k3a2b?k2k3esink2asink2b?2ecosk2asink2b） ? k k1b1 (e?e?k1b（)k?k3b?k3b2k3esink2acosk2b?k2ecosk2a c o s k?k3b?k3b2b?k3ecosk2asink2b?k2esink2asink2b））?(ek1a?e?k1a)[?k2?k3b2k3cosk2(b?a)?k2sink2(b?a)]e ?(ek1a?e?k1a)[k?k3b1k3sink2(b?a)?k1k2cosk2(b?a)]e ?ek1a[?(kk2?k3b1?k3)k2cosk2(b?a)?(2?k1k3)sink2(b?a)]e
e?k1a[(k)k2?k3b1?k32cosk2(b?a)?(k2?k1k3)sink2(b?a)]e?0? [?(k)k2?a)]e?k3b1?k32?(k2?k1k3)tgk2(b?k2?k3b
?[(k13)k2?(k2?k1k3)tgk2(b?a)]e?0
[(k2?kk2k1a?(k2?k2k1a213)e21k3)]tgk2(b?a)?(k1?k3)k2e ? ( k 1?k3)k2?0 此即为所求方程。 #
补充练习题一
1、设 ?(x)?Ae?1222?x(?为常数)，求A = ？ 解：由归一化条件，有 1?A2????2x2???2x2??ed( x)?A21????ed(? x)
?A21e?y22 利用???y2?????dy?A1?? ??edy?? ∴A??? #
2、求基态微观线性谐振子在经典界限外被发现的几率。 解：基态能量为E0?12??
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设基态的经典界限的位置为a，则有 E0? ∴a? 在界限外发现振子的几率为
12??a?122?12??
?????a0
? ?
? ? a ? ? 2 2 0 2 2 ?? x ? x dx (?? dx e e ? ?
0 ? ? ? ? a
0
?
2?
? 2 2 ? x e ? ) ?
??2???2????a0?eee??x22dx (偶函数性质d(? x))?(?x)2a0? ???y2?21dy2
?2[????e?ydy?2?21?1??e?y2dy]2?t/22??[??12?x?e??edt] （令 y?12t) 式中 当x?12?2??e?t/22dt为正态分布函数?(x)???2???t/22dt
??2时的值?(2)。查表得?(2)??0.92
∴???? ∴在经典极限外发现振子的几率为0.16。 #
3、试证明?(x)?[????0.92] ?2(1?0.92)?0.16
?3?e122??x2(2?x?3?x)是线性谐振子的波函数，并求此波函数对
33应的能量。
证：线性谐振子的S-方程为
22?d122?(x)???x?(x)?E?(x) ① ?2?dx2 把?(x)代入上式，有
ddx?(x)??3?ddx2[?3?3e122??x2(2?x?3?x)]122??x233 ?[??x(2?x?3?x)?(6?x?3?)]e122??x2332
?d?(x)dx22?3?e(?2?x?9?x?3?)5432122??x?d??54322?e(?2?x?9?x?3?)?? dx?3?? 20