??e?m? (2)氢原子的磁矩为 M??rsin??22n?mdrd? (dS?rdrd?)
?dM?2???0??0??e?m??0??2n?m2rsin? drd?
?? ?? ??e?me?m2?e?m2??2?2???0?2n?m2rsin? drd?
???00??0?2n?m2rsin? drd?d?
(SI) e?m2?c 在CGS单位制中 M???
原子磁矩与角动量之比为
MzMzMee??? ( SI ) ?? (CGS) LzLz2?Lz2?c#
2L3.5 一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是H?，L为角动量，求与此
2I对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数： (1) 转子绕一固定轴转动： (2) 转子绕一固定点转动：
解：(1)设该固定轴沿Z轴方向，则有 L2?L2Z
??1L?2???d 哈米顿算符 HZ2I2Id??与t无关，属定态问题) 其本征方程为 (H2222222
??d
2Id??(?)?E?(?)
d?(?)2IE 2???(?)2d?? 令 m2?2IE?2，则
d?(?)d?2im?2 ?m?(?)?0
2 取其解为 ?(?)?Ae (m可正可负可为零)
由波函数的单值性，应有
im(??2?)im??e ?(??2?)??(?)?e
?1 即 e ∴m= 0，±1，±2，…
i2m?转子的定态能量为Em?m?2I22 (m= 0，±1，±2，…)
26
可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。 定态波函数为 ?im?m?Ae
A为归一化常数，由归一化条件
1 ? ?2?*20?m?md??A?2?0d??A22?
?A?1
2? ∴ 转子的归一化波函数为
?1m?2?eim?
综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。
(2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为
H??12IL?2 H?与t无关，属定态问题，其本征方程为
12IL?2Y(?,?)?EY(?,?) (式中Y(?,?)设为H?的本征函数，E为其本征值) L?2Y(?,?)?2IEY(?,?) 令 2IE???2，则有
L?2Y(?,?)???2Y(?,?) 此即为角动量L?2的本征方程，其本征值为 L2???2??(??1)?2 (??0, 1, 2, ?) 其波函数为球谐函数Ym?m(?,?)?N?mP?(cos?)eim?
∴ 转子的定态能量为 E??1)?2???(2I
可见，能量是分立的，且是(2??1)重简并的。
#
3.6 设t=0时，粒子的状态为
?(x)?A[sin2kx?12coskx]
求此时粒子的平均动量和平均动能。
解：?(x)?A[sin2kx?12coskx]?A[12(1?cos2kx)?12coskx]
?A2[1?cos2kx?coskx] ?A?i2kx2[1?12(ei2kx?e)?12(eikx?e?ikx)]
?A2??1i2kx2[ei0x?2ei2kx?12e??12eikx?12e?ikx]?12??可见，动量pn的可能值为0 2k? ?2k? k? ?k?
27
动能
pn22?的可能值为0 A22k?22?A 22k?22?A2 k?2?22 k?2?22
)?2?? 416161616 111112( )?A?? 28888 上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得
对应的几率?n应为 (A2A2 1???nn?(A42?4?A216)?2???A22?2??
∴ A?1/?? ∴ 动量p的平均值为
p??npn?nA2
?0?2k??16pn2?2???2k??A216?2???k??A216?2???k??A2
?2???016 T?p22???n2?22?n ?18?2?k?2?22 ?0?22k??2?18?2
?5k?8? # 3.7 一维运动粒子的状态是
?Axe??x, 当x?0 ?(x)??
? 0, 当x?0其中??0，求：
(1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。
解：(1)先求归一化常数，由
1? ??????(x)dx?32??0Axe22?2?xdx
14?3/2 ∴A?2?
A
2 ?(x)?2?xe (x?0)
?(x)?0 (x?0) c(p)?3/2?2?x????12??3e?ikx?(x)dx?(xe12???0)1/2?2?3/2?????xe?(??ik)x?(x)dx
?(2?2??)1/2[??(??ik)x??ik?1??ik???e?(??ik)xdx
28
?(2?32??)1/2x(??ik)2??(2?32??)1/21(??ip?3
)2 动量几率分布函数为 ?(p)?c(p)2?2?31(??2??p??22?)22??31(???p)2222???x
(2) p???????(x)dx??i??(x)p?3???*??4?xe3ddx(e??x)dx
??i?4??? ??i?4??? ??i?4?3?(3???x(1??x)e2?2?xdx
(x??x)e?14?2?2?xdx
14?2)
?0
#
3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数 ?(x)?Ax(a?x)
描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。
解：由波函数?(x)的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本征函数和本征值为
?2n?sinx, 0 ?x?a? ?(x)?a a? 0 , x ?0, x ?a? En?n??2?a2222 (n?1， 2， 3， ?)
2 动量的几率分布函数为?(E)?Cn Cn??
a?????(x)?(x)dx?*?20sinn?ax?(x)dx
先把?(x)归一化，由归一化条件， 1????2?(x)dx?a22052?a03Ax(a?x)dx?A?x)dx
222?a0x(a?2ax?x)dx
222 ?A2?(ax?2ax?a54 ?A(a32?a55)?A30a5a530
∴A? ∴ Cn? ? n?ax?x(a?x)dx
?aa2a0?a30a5sin2153[a?0n?xsinxdx?a?a0n?2xsinxdx]
a 29
?215a3[?22a2
n?xcosn?ax?a232n?33n?an?2sinx?xcosxan?an?aa2a ? 2n?n?2axsinx?3an?n
cosx]0 ?415n?33[1?(?1)]
2 ∴ ?(E)?Cnn??960，n?1， 3， 5， ?? ??n6?6
? 0，n?2, 4, 6, ???24066[1?(?1)]
n2 E???????(x)dx??(x)Ha?a0?(x)d22?2p2??(x)dx
? ? ??30a205x(x?a)?[?a?22?dx30?2x(x?a)]dx
(a330??a5?25?
0x(x?a)dx??a52?a33)
?a2
3.9.设氢原子处于状态 ?(r,?,?)?12R21(r)Y10(?,?)?32R21(r)Y1?1(?,?)
求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。
解：在此能量中，氢原子能量有确定值 E2??2?es2222?n 角动量平方有确定值为
2???es8?222 (n?2)
L??(??1)??2? (??1) 角动量Z分量的可能值为 LZ1?0LZ2???
其相应的几率分别为
13 ，
44 其平均值为
133 LZ??0??????
444
3.10一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为 ??, r?a; U(r)??
?0, r?a 30