求粒子的能级和定态函数。
解：据题意，在r?a的区域，U(r)??，所以粒子不可能运动到这一区域，即在这区域粒子的波函数
??0 (r?a)
由于在r?a的区域内，U(r)?0。只求角动量为零的情况，即??0，这时在各个方向发现粒子的几率是相同的。即粒子的几率分布与角度?、?无关，是各向同性的，因此，粒子的波函数只与r有关，而与?、?无关。设为?(r)，则粒子的能量的本征方程为 2 ??1d2?rdr(r2d?dr)?E?
令 U(r)?rE?, k 2?2?E，得
?22 dudr2?k2u?0
其通解为
u(r)?Acoskr?Bsinkr
???(r)?Arcoskr?Brsinkr
波函数的有限性条件知， ?(0)?有限，则 A = 0
∴ ?(r)?Brsinkr
由波函数的连续性条件，有
?(a)?0 ? Basinka?0
∵B?0 ∴ka?n? (n?1,2,?) k?n? a
22? ∴ En?n?22?a2
?(r)?Brsinn?ar 其中B为归一化，由归一化条件得
1?
??0d????220d???a0?(r)rsin? dra
?4???B2sin2n?20ardr?2? aB ∴ B?12? a
∴ 归一化的波函数 ?(r)?1sinn?ar2? ar
3.11. 求第3.6题中粒子位置和动量的测不准关系(?x)2?(?p)2??
#
31
解： p?0
p2?2? T? x? x2?542k?
1212coskx]dx?0 coskx]dx??
22222????Ax[sinkx?2222????Ax[sinkx?2 (?x)2?(?p)2?(x2?x)?(p2?p)?? 3.12 粒子处于状态 ?(x)?(12??2)1/2ixexp[p0x?] 2?4?2式中?为常量。当粒子的动量平均值，并计算测不准关系(?x)2?(?p)2??
解：①先把?(x)归一化，由归一化条件，得 1?????12??2? x2?22edx?12??2????? (x2?2)2ed(x2?2)
?212??2??(12??2)1/2
∴?2? ∴ 是归一化的
?1 /
i?2 ?(x)?exp[p0x?x]
?2 ② 动量平均值为
p??????*(?i??ddx)?dx??i?? ??x2???e? i?p0x? ?2x2( i?p0?? x)e i?p0x? ?2x2dx
??i????( i?2p0?? x)edx
??x2 ?p0?e??? ??xdx?i? ??xe???dx
?p0
③ (?x)2?(?p)2?? x?2?????*x?dx?xe12?2 ??x2????xe1 ??x2dx （奇被积函数）
??x2 x??????dx??2?xe???12?????e ??x2dx
?? p???22
d22?????*dx? dx???2????e? i?p0x??x2d2idx2e?p0x??x2 dx
2 ??(??2p0?)?i2??p0?xe?????xdx???22????xe2??x dx
32
p21? ??2(??02?)?0?(??2?)2??(?2?p220)
(?x)2?x2?x2?12?
(?p)2?p2?p2?(?2p22?22??0)?p0?2?
(?x)2?(?p)2?1??2122?2??4?
#
3.13利用测不准关系估计氢原子的基态能量。
解：设氢原子基态的最概然半径为R，则原子半径的不确定范围可近似取为
?r?R
由测不准关系
2 (?r)2?(?p)2??4
得 (?p)2??24R2
对于氢原子，基态波函数为偶宇称，而动量算符?p为奇宇称，所以
p?0
又有 (?p)2?p2?p2 所以 p2?(?p)2??24R2
可近似取 p2??2R2 2 E?P2能量平均值为2??esr
2作为数量级估算可近似取
e2s?esrR
?22则有 E?2?R2?esR
基态能量应取E的极小值，由
?E2s?R???2?R3?eR2?0
2得 R???e2
s代入E，得到基态能量为 Ee4smin???2?2
补充练习题二
1．试以基态氢原子为例证明：?不是T?或U?的本征函数，而是T??U?的本征函数。 33
解：?100?14?2(1a0)3/22e?r/a0? es1 ( ?) 2a0?)?1sin?(sin????)?122???T???U??T?122?resr2[??r(r2??r?22sin???]
??100?21?22?r2?r((r12??100?r3/2)2
(r2a0r??r)ee?r/a0? ? ? 2? ? ? ?21?1a01)?1?r1202?r?)?22??(a0)3/2(?r/a0a??2?a(120?2a0r)?100 ? 常数 ??100?的本征函数 ?100不是T?? U??100esr2?100
?的本征函数 可见，?100不是U??)?而 ( T ?U100???212??2?120(1a0)3/2(?1a220?2a0r)e?r/a0?esr2?100
? ?2?a?2?100??100?a0r?100??2?a0r?100 ? ? 1202?a??U?)的本征函数。 可见，?100是(T
2．证明：L?率最大。
6?，L???的氢原子中的电子，在??45?和 135?的方向上被发现的几
2 解： ?W?m(?,?)d??Y?m ∴ W?m(?,?)?Y?m L?d?
2
6?，L???的电子，其??2, m??1
? Y21(?,?)??158?158?2sin?cos? ei?
Y2?1(?,?)??
sin?cos? e?i?∴W2?1(?,?)?Y?m当??45?和 135?时 W2?1?
?158?sin?cos??221532?sin2?
21532?为最大值。即在??45?，??135?方向发现电子的几率最大。
34
在其它方向发现电子的几率密度均在0～
1532?之间。
3．试证明：处于1s，2p和3d态的氢原子的电子在离原子核的距离分别为a0、4a0和9a0的球壳内被发现的几率最大(a0为第一玻尔轨道半径 )。 证：①对1s态，n?1, ??0, R1?r/a010?(a)3/2e
0W2210(r)?rR10(r)?(13a)4r2e?2r/a0
0?W2
1032?r?(1a)4(2r?ar)e?2r/a000 令
?W10?r?0 ?r1?0, r 2??, r3 ?a0 易见 ，当?r1?0, r2??时，W10?0不是最大值。
W4210(a0)?ae?为最大值，所以处于1s态的电子在 r?a0处被发现的几率最大。0 ②对2p态的电子n?2, ??1, R121?(2a)3/2re?r/2a003a
0214W21(r)?r2R21?(2a)3r2r2e?r/a0
03a0?W
213r?r/a0?r?124a5r(4?a)e00 令
?W21?r?0 ?r1?0, r 2??, r3 ?4a0 易见 ，当?r1?0, r2??时，W21?0为最小值。
?2W21?r2?128rr224a5r(12?)e?r/a0
0a?0a20?2
W2112?4?r2?3e?4?0
r?4a24a5?16a0(12?32?16)e??8003a0 ∴ r?4a0为几率最大位置，即在r?4a0的球壳内发现球态的电子的几率最大。 ③对于3d态的电子 n?3, ??2, R32?(2/21r2?r/3a0a)308115(a)e
0WR21632(r)?r232?1
a7812?15re?r/3a0 ?W?852r
32?2r/3a0?r812?15a7r(6?3a)e00 令
?W32?r?0 ?r1?0, r 2??, r3 ?9a0 易见 ，当?r1?0, r2??时，W32?0为几率最小位置。
35