2
?W3216r52r6?2r/3a0?r2?812?15a7(15r2?42)e
0a?09a0?2W81a232?10?627(9a40)(15?36a0
?r2r?9a81?15a00a?2?2)e09a0
??16?65a3e?00 ∴ r?9a0为几率最大位置，即在r?9a0的球壳内发现球态的电子的几率最大。
4. 当无磁场时，在金属中的电子的势能可近似视为
U(x)??0, x?0 (在金属内部)??U0, x?0 ( 在金属外部 )
其中 U0?0，求电子在均匀场外电场作用下穿过金属表面的透射系数。
解：设电场强度为?，方向沿χ轴负向，则总势能为 V(x)??e? x ( x ?0)，
V（x）?U0?e? x （ x ? 0） 势能曲线如图所示。则透射系数为 D?exp?[2x1??x2?(U0?e? x?E)dx]
2式中E为电子能量。x1?0，x2由下式确定 p?2?(U0?e? x?E)?0
∴ xU0?E2?e?
令 x?U0?Ee?sin2?，则有
?x1U0?E2x2?(U0?e? x?E)dx?2?2?02?(U0?E)?e?2sin? d?U3 ? 20?E2?(UE)(?cos?2?e?0?3)
0 ? 2U0?E3e?2?(U0?E) ∴透射系数D?exp[?2U0?E3?e?2?(U0?E)]
5．指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。
2n ① 4x2ddx2； ② ?? 2 ； ③ ? K?12 解：①4x2ddx2是线性算符
36
2? 4 x2d2d2
dx2(c1u1?c2u2)?4x2ddx2(c1u1)?4x2dx2(c2u2) 22
? c21?4xddx2u1?c2d2?4xdx2u2 ②?? 2不是线性算符 22222
? [ c1u1?c2u2]?c1u1?2c1c2u1u2?c2u2 ? c2
1[u1]?c22[u2]n ③?是线性算符
K?1nNNNN
?c1u1?c2u2??c1u1??c2u2?c1?u1?c2?u2
K?1K?1K?1K?1K?1
6．指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。 d2dx， i ddx ， 4 ddx 2
解： ??d????*dx? dx??*? -????d??dx?*? dx当 x???，??0，??0 ? ?????*d? dx????ddx??dx?*? dx??????(ddx?)*? dx ???d??(dx?)*? dx? ddx不是厄米算符 ???d?d??*idx? dx?i?*? ?-??i???dx?*? dx ??i????(d?)*? dx???dx??(iddx?)*? dx
?iddx是厄米算符 ? ? ? *4d2?d?*d???dx2? dx?4?*d?dx ?-??4???dxdx dx ? ? 4 ??d?*d? dx?4d?*?2
??dxdxdx??4 ?d?*??dx2? dx ? ? 4 ??d2?d2??dx2?*? dx????(4dx2?)*? dx2?4ddx2是厄米算符7、下列函数哪些是算符
d2dx2的本征函数，其本征值是什么？
①x2
， ② ex， ③sinx， ④3cosx， ⑤sinx?cosx
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解：①
ddx2
222(x)?2
∴ x不是 ②
ddx22ddxx22的本征函数。
ex?e
ddxddx22 ∴ e不是 ③
ddx22x的本征函数，其对应的本征值为1。
(sinx)?(cosx)??sinx d22∴ 可见，sinx是④
ddx22dx的本征函数，其对应的本征值为－1。
(3cosx)?ddx(?3sinx)??3cosx?(3cosx) d22 ∴ 3cosx 是
d22dx的本征函数，其对应的本征值为－1。
ddx22 ⑤dx(sinx?cosx)?(cosx?sinx）??sinx?cosx
??(sinx?cosx) ∴ sinx?cosx是
ddx的本征函数，其对应的本征值为－1。
???ieixd的本征函数。 8、试求算符Fdx?的本征方程为 解：F???F? F即 ?ieixddx?F?ix
d???iFeixdx??d(Feixddx)?d(?Feixddx)
ln???Feddx?lnc?是F的本征值） ??ce?Fe（F
9、如果把坐标原点取在一维无限深势阱的中心，求阱中粒子的波函数和能级的表达式。
a?0, x ???2 解： U(x)??
??, x ?a?2? 方程（分区域）：
a Ⅰ：U(x)?? ∴ ?I(x)?0 (x??)
2?ix 38
Ⅲ：U(x)?? ∴ ?III(x)?0 (x?a2)
Ⅱ：??2d2?II2?dx2?E?II
2 d?II2?Edx2??2?II?0
令 k2?2?E?2
d2?IIdx2?k2?II?0
?II?Asinkx(??)
??(?a)??(?a 标准条件：?I?2II2) ???(a2)??aIIIII(2) ∴ Asin?(kx??)?0
∵ A?0 ∴ sin?(kx??)?0 取 ??kaa2?0， 即 ??k2 ∴ ?II(x)?Asink(x?a2)
Asinka?0 ? sinka?0
∴ ka?n? (n?1, 2, ?) k??an
?Asin?n(x?a), x ?a ∴ 粒子的波函数为 ??(x)???a22
?a??0, x ? 2 粒子的能级为E??2n2?2k22?k2?2?a (n?1, 2, 3, ?)
由归一化条件，得 1????(x)2d??A2?a/2???a/2sin2n?a(x?a2)dx
?A2?a/21?a/22[1?cos2n?a(x?a2)]dx ?A2?a2a/22?A??a/2cos2n?a(x?a2)dx a ?a22asin2n?(x?a)22A?A?2n?a2
?a2 39
? ∴ A?a22A
a ∴ 粒子的归一化波函数为
?2?naasin(x?), x ???aa22 ?(x)??
a?0, x ? ?2?2
10、证明：处于1s、2p和3d态的氢原子中的电子，当它处于距原子核的距离分别为
。 a0、4a0、9a0的球壳处的几率最（a0为第一玻尔轨道半径） 证：1s: ?(r)10dr?R102rdr
2 ?( ?10(r)?(
d?10dr1a031a03)?4e23?2r/a0?rdr
21a01)?4re3?2r/a0
?2r/a0?4(a0)?(2r?r)re2a0r)e2
?8(令
d?10?0，则得
)?(1?1a0?2r/a0
dr r11?0 r11?a0
d?10dr22?8(1a0)?[(1?1a0332a0r)??ra02ra220(1?ra0)e?2r/a0]
?8(
d?10dr22r11?02)?(1?4ra0?)e?2r/a0]
?0 ∴r11?0为几率最小处。
d?10dr2r11?a0?0 ∴r11?a0为几率最大处。
22 2p: ?21(r)dr?R21rdr ?( ?21(r)?(
d?21dr?124a0512a0)?3)?r2203r223a0ee?r/a0?rdr
212a0?r/a03a
?(4?1a0r)re3?r/a0 40