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五、二次函数y?ax2?bx?c的性质
?b4ac?b2?b 1. 当a?0时，抛物线开口向上，对称轴为x??，顶点坐标为??， ?．2a4a2a??当x??bb时，y随x的增大而减小；当x??时，y随x的增大而增大；当2a2a4ac?b2b． x??时，y有最小值
2a4a 2. 当a?0时，抛物线开口向下，对称轴为x??b，顶点坐标为2a?b4ac?b2?bb时，y随x的增大而增大；当x??时，y随x的增??，?．当x??4a?2a2a?2a4ac?b2b大而减小；当x??时，y有最大值．
2a4a
六、二次函数解析式的表示方法
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1. 一般式：y?ax2?bx?c（a，b，c为常数，a?0）； 2. 顶点式：y?a(x?h)2?k（a，h，k为常数，a?0）；
3. 两根式：y?a(x?x1)(x?x2)（a?0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次
函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2?4ac?0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a
二次函数y?ax2?bx?c中，a作为二次项系数，显然a?0．
⑴ 当a?0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；
⑵ 当a?0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．
总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在a?0的前提下，
当b?0时，?当b?0时，?当b?0时，?b?0，即抛物线的对称轴在y轴左侧；ab同号同左上加 2ab?0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab?0，即抛物线对称轴在y轴的右侧．a,b异号异右下减 2a⑵ 在a?0的前提下，结论刚好与上述相反，即
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当b?0时，?当b?0时，?当b?0时，?
总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置． 总结： 同左上加 异右下减 3. 常数项c
⑴ 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当c?0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；
⑶ 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．
总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．
b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 总之，只要a，b?0，即抛物线的对称轴在y轴右侧；a,b异号异右下减 2ab?0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab?0，即抛物线对称轴在y轴的左侧．ab同号同左上加 2a二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
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4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 二、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称
y?a2x?bx ?关于cx轴对称后，得到的解析式是y??a2x?bx?；cy?a?x?h??k关于x轴对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k；
22 2. 关于y轴对称
y?a2x?bx ?关于cy轴对称后，得到的解析式是y?a2x?bx?；cy?a?x?h??k关于y轴对称后，得到的解析式是y?a?x?h??k；
22 3. 关于原点对称
y?a2x?bx ?关于原点对称后，得到的解析式是cy??a2x?bx?；c y?aky??ak ?x??h?关于原点对称后，得到的解析式是?x??h?；
22 4. 关于顶点对称
b2 y?ax?bx?关于顶点对称后，得到的解析式是cy??ax?bx?c?；
2a22y?a?x?h??k关于顶点对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k． n?对称 5. 关于点?m，222n?对称后，得到的解析式是y?a?x?h??k关于点?m，y??a?x?h?2m??2n?k
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根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：
一元二次方程ax2?bx?c?0是二次函数y?ax2?bx?c当函数值y?0时的特殊情况.
图象与x轴的交点个数：
① 当??b2?4ac?0时，图象与x轴交于两点A?x1，0?，B?x2，0?(x1?x2)，其中的x1，x2是一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0?的两根．这两点间的距离
b2?4ac. AB?x2?x1?a② 当??0时，图象与x轴只有一个交点； ③ 当??0时，图象与x轴没有交点.
1' 当a?0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y?0；
2' 当a?0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y?0．
2. 抛物线y?ax2?bx?c的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； 3. 二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数y?ax2?bx?c中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
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