3π2009年 第一题 ：①4 ②4 ③ 0 ④ ;⑤2 第二题CADBC,第三题解：因为
e2ln1?ax3ax3limf?x??lim?lim?limx?0?x?0?x?arcsinxx?0?x?arcsinxx?0?3ax21?x2?122??1?3ax211?x2
?lim?x?0?1?x?1??1?x?1???????6aeax?x2?ax?1eax?x2?ax?1aeax?2x?alimf?x??lim?4lim?4lim2x?0?x?0?x?0?x?0?x2xxxsin
42ax2?2limae?2?2a?4?x?0f?x??limf?x?，即?6a?2a2?4，解得a??1,a??2。 命：lim??x?0x?0当a??1时，limf?x??6?f?0?，故f?x?在 x = 0点处连续。
x?0当a??2时，limf?x??12?f?0??6，故x = 0为f?x?的可去间断点。
x?0第四题解：⑴ 命f??x??n?1?x??nx?1?x?n?n?1??n?1?x?n?1?1?x?nx??0，得x1?1，x2?1。 1?n当0?x?1时，f??x??0； 1?n1?x?1时，f??x??0， 1?n1故x1?为f?x?的极大值点，
1?nn?1??1?f??1????为对应的极大值。 ?1?n?1?n?1?n?nnn?1??1?又f?0??f?1??0，故f??即为f?x?在闭区间[0,1]上的最大值：M?n???1??。
1?n1?n1?n????1??1??⑵ limM?n??lim?1?1??e?1 ???n??n???1?n??1?n?222t??x0sinxsin2xsinxsinx44第五题解：I??π，其中dx?dxdx?dx，故 π????1?e-x01?e-x?1?e-x01?ex440π40-xx1?1?e?1?e1?124sinx4sin2xdx??π?2? sinx??dx?dx??x-xx-x??0081?e?1?e1?e?1?e2ππππnI??????第六题证明：首先，由0?f?0??F?0??0，知f?0??0，从而f?0??0。
又由f?x??F?x?，知?F?x??f?x??F?x?。又F?x?在x = 0点处连续，F?0??0，知
limF?x??0，lim??F?x???0，于是有limf?x??0。即limf?x??0?f?0?。所以，f?x?在x = 0点处也连续。
x?0x?0x?0x?0第七题：用曲线y?x,y?x2将区域D分成三部分
D1???x,y?0?x?y?1?,D2??x,y?x2?y?x?1, D3则
2??x,y?0?y?x?????1?。I???yy?x2dxdy???xy?x2dxdy???xx2?ydxdyD1D2D3???????dx?y?yxdy??dx?2xy?xdy??dx?0x0x011?22?1x?3?1x20?x3?xydy
??1x2x3x4115?????????xdx??0?326240??1x2y2z2第八题解：设F?x,y,z??2?2?2?1，切点为（x0,y0,z0），故该点处切平面的法向量为
abcFx??2x02y02z0??F?F?，，。 yz222abc切平面方程为
2x02y02z0?????z?z0??0，即 x?x?y?y?00a2b2c2xa2x0?yb2y0?zc2z0?1。
a2b2c2a2b2c2,y0?,z0?依题意，有截距。 ???k?k?0?，即x0?kkkx0y0z0?a2??b2??c2?????k???k???k??a2b2c2??????由于切点在椭球面上，故有???1，即2?2?2?1，
kkka2b2c2从而解得k?于是有x0?222a2?b2?c2， a2a?b?c222,y0?b2a?b?c222,z0?c2a?b?c222。
切平面方程为x?y?z?第九题证明：
a2?b2?c2。
??f?x?y?dxdy??DA2A?2dx?0A2A?2f?x-y?dy?t?A2A2命x?y?t?A2A?2dx?A2Ax?2x??f?t?dt??dx?0-AA2A?2A2Ax?2x?f?t?dt??f?t?dt?-AA0?dx??f?t?dt?00-AAA2t?A2dxA
0??f?t??t?A?dt??f?t??A?t?dt??f?t??A?t?dt??f?t??A?t?dt??f?t??A?t?dt。A-A第十题证明：因为f?x?在闭区间[a,b]上连续，且f?a??0，f?b??0，以及
?f?x?dx?0，故在开区间（a,b）内至少
ab存在一个小区间使得f?x?在其内为正，从而知f?x?在闭区间[a,b]上的最大值为正，且最大值点η∈（a,b），f?????0。
对于x ∈[a,b]，有泰勒公式f?x??f?η??12f???ξ??x?η?，其中ξ位于x与η之间。命x = a，则 212f?a??f?η??f???ξ??a?η?，
2因其中?a?η??0，f?a??f?η??0，故f??????0。
2第十一题证明：必要性
?u?u?2u若u?x,y??f?x?g?y?，则?f??x?g?y?，?f?x?g??y?，?f??x?g??y?，显然有
?x?y?x?y?2u?u?u。 u???x?y?x?y充分性
?2u?u?u?u??u??u?u若u，则u??0，由于u?x,y??0，所以 ??????y??x??x?y?x?y?x?y?u??u?u??u?u?u??????????x??y??x??x?y??0， 2?y?u?u????即
?lnu?lnu???lnu????x?。从而有 ，因此不含y，故可设?0???x?x?y??x?lnu????x?dx?ψ?y?，
u?e???x?dx?ψ?y??e???x?dx?eψ?y?，
即u?x,y??f?x?g?y?。 第十二题解：命P?x?x2?y2?z2322?，Q?y?x2?y2?z322?，R?z?x2?y2?z322?。
作辅助曲面Σ1为球面x?y?z?ε的外则，其中 0 <ε< 1。则
222I?其中
Σ?Σ1??xdydz?ydzdx?zdxdy?x2?y2?z322????Σ1xdydz?ydzdx?zdxdy?x2?y2?z322?，
Σ?Σ1??xdydz?ydzdx?zdxdy?????13x?y?z?3x?3y?3z??x22?y?z222322????P?Q?R????????x??y??z??dxdydz?Ω1?222
?x2?y2?z522?dxdydz?0（Ω1为Σ与Σ1之间的空间区域）。所以
?y?z114?3??3dxdydz?3?3?πε3?4π。εΣ1ε3Σ1I???xdydz?ydzdx?zdxdy?x22322??1xdydz?ydzdx?zdxdy3??εΣ1
2007
第一题①3②?1x?1y?1z?21??③1?ln2④⑤
ln21?4?53?2?1第二题ADBBC第三题解：由已知，
?显然有f?0??0，且在点(0,0)处
e??arctanx?f??x??,故f??0??1 21?x2因此，所求切线方程为y = x。
?2?f???f?0?n?2?limn?f???lim2???2f??0??2 n??n??2?n?n第四题证明：设??x???x?2?ex?22?xex?2e?2,?x??2?，
???2????2?2?e???x??ex?22?2?22???2?e?2?2e?2??4e?2?2e?2?2e?2?0，
?ex?xex。
?x?2???f?x?。 2??x?2?e2ux?22??
又设：f?u??e?ue，则???x??f?u由拉格朗日中值定理知，存在????x??2,x?，使 ?2????x??f?????x?2?x?2?， ?x???f????2?2?x?2x?2?2??0，故f?????0。从而，当x > 2时， 22?而f?????e?2???，又2??????x???f????即??x?单调减少，从而??x??0。命题得证。
第五题解：利用牛顿—莱布尼兹公式：
x?2?0， 2?n?k??k??n?。 ?uv??n??u?n?v?Cn1u?n?1?v????Ckuv???uvn设u?x,v?sin2x，
注意到：u??2x,u???2,u?j??02?j?3?；
v?n???sin2x??n?nπ???2nsin?2x??，
2??v?n?1???sin2x??n?1??n?1?π?， ??2n?1sin?2x??2???n?2?π?。 ??2n?2sin?2x??2???n?1?π??n?n?1?2n?2?2?sin?2x??n?2?π?， nπ???nx2sin?2x???n2xsin?2x????2222??????2??n?n?1?2n?2sinn?2v?n?2???sin2x??n?2?故xsin2x?n??2????2nn于是有f?0??n?n?1?2n?2sin?n?2???n?3?
第六题解：首先写出f?x?在 x < 0附近的表达式：当?1?x?0时，0?x?1?1。由f?x?1??af?x?知，
f?x??故有
1112f?x?1???x?1?1??x?1???x?x?1??x?2?， aaa???1??x?x?1??x?2?,?1?x?0, f?x???a?0?x?1.?x?1?x??1?x?,显然，f?x?在点 x = 0处连续，且f?0??0，
1x?x?1??x?2??02a， f???0??lim??x?0?xax?1?x??1?x??0f???0??lim?1。
x?0?x???0??f???0?，即 因f?x?在x = 0点处可导的充要条件为：f??且f??0??1。
第七题解：⑴ 将原等式两边对x求导，得到
2?1,a??2， a