f'(x)?lnx?1?x?x命f'(x)?0，得到驻点 x = 0。由
?2?1?x1?x22x?1?x?x1?x2?lnx?1?x2。
??f''(x)?11?x2?0
可知 x = 0 为极小值点，亦即最小值点，最小值为f(0)?0，于是对任意x????， ???有f(x)?0，即所证不等式成立。
第十一题证明：由积分中值定理知，存在???,1?，使得
4?3???f(?)?11?34?134f(x)dx?4?3f(x)dx?f(0)
41?0,??内可导，又函数f(x)在区间?0,????0,1?上连续，由罗尔定理知，至少存在一点???0,????0,1?，使得f'(?)?0。
第十二题
证明：对任意的x?[a,??)，及任意的h > 0，使x + h ∈ (a，+∞)，于是有
f(x?h)?f(x)?f'(x)h?即
1f''(?)h2，其中??[h,x?h]。 2!f'(x)?1?f(x?h)?f(x)??hf''(?) h2故
f'(x)?2M0h?M2，（x?[a,??)，h > 0） h2命g(h)?2M0h?M2，试求其最小值。 h2M02M01h?2?M?0，得到， 022M2h2命g'(h)??g''(h)?4M0?0， h3M0处得极小值，亦即最小值， M2所以，g(h)在h0?2g(h0)?2M0M2。
故
（x?[a,??)）。 f'(x)?2M0M2，